Sejam
x=\left(\begin{array}{r} 1 \\\\ -2 \\\\ 7 \end{array}\right) \text { e } y=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right) .
Calcule x y, y x, x^{T} x e x x^{T}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
x = \begin{pmatrix}1 \\\\ -2 \\\\ 7\end{pmatrix}, \quad y = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix},
e pede quatro operações típicas de álgebra de matrizes e vetores:
  1. O produto x y (matriz 3\times 1 vezes 1\times 3),
  2. O produto y x ( 1\times 3 vezes 3\times 1, dando escalar),
  3. O produto interno x^T x ( 1\times 3 vezes 3\times 1, escalar),
  4. O produto externo x x^T ( 3\times 1 vezes 1\times 3, matriz 3\times 3).

Passo 2

Para calcular x y, multiplica-se cada componente de x por cada componente de y, resultando em uma matriz 3\times 3:
x\,y = \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 & 1\cdot2 & 1\cdot3\\\\ -2\cdot1 & -2\cdot2 & -2\cdot3\\\\ 7\cdot1 & 7\cdot2 & 7\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ -2 & -4 & -6\\\\ 7 & 14 & 21 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para calcular y x, faz-se o produto 1\times 3 por 3\times 1, obtendo escalar:
y\,x = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 7\end{pmatrix} = 1\cdot1 + 2\cdot(-2) + 3\cdot7 = 1 - 4 + 21 = 18.

Passo 4

O produto interno x^T x é também um escalar e usa a fórmula do produto escalar:
x^T x = \begin{pmatrix}1 & -2 & 7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 7\end{pmatrix} = 1\cdot1 + (-2)\cdot(-2) + 7\cdot7 = 1 + 4 + 49 = 54.

Passo 5

Para o produto externo x x^T, multiplica-se o vetor coluna x pela transposta x^T, gerando outra matriz 3\times 3:
x\,x^T = \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -2 & 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 & 1\cdot(-2) & 1\cdot7\\\\ -2\cdot1 & -2\cdot(-2) & -2\cdot7\\\\ 7\cdot1 & 7\cdot(-2) & 7\cdot7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 7\\\\ -2 & 4 & -14\\\\ 7 & -14 & 49 \end{pmatrix}.

Resposta

x\,y = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ -2 & -4 & -6\\\\ 7 & 14 & 21 \end{pmatrix}, \quad y\,x = 18, \quad x^T x = 54, \quad x\,x^T = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 7\\\\ -2 & 4 & -14\\\\ 7 & -14 & 49 \end{pmatrix}.

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