Sejam
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & -2 & 3 \\\\ 0 & -5 & 4 \\\\ 4 & -3 & 8 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 4 \\\\ 3 & 7 \end{array}\right) \text { e } C=\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right) .
Se possível, calcule os seguintes produtos:
B^{T} B

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o produto \,B^{T}B. Aqui o conteúdo é multiplicação de matrizes envolvendo a matriz transposta. Vamos usar que, se B é uma matriz 3\times2, então B^{T} é 2\times3 e o produto B^{T}B será uma matriz 2\times2. Cada entrada de B^{T}B é o produto escalar de uma linha de B^{T} com uma coluna de B.

Passo 2

Primeiro obtemos a transposta de B. Como
B = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 0 & 4\\\\ 3 & 7 \end{pmatrix},
temos
B^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\\\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos B^{T}B multiplicando a matriz 2\times3 B^{T} pela 3\times2 B. Chamando
B^{T} = \bigl(r_{i}\bigr),\quad B = \bigl(c_{j}\bigr),
onde r_{i} é a i-ésima linha de B^{T} e c_{j} é a j-ésima coluna de B, cada entrada (i,j) vale r_{i}\cdot c_{j}. Fazendo as contas:
Para (1,1):
r_{1}\cdot c_{1} = (1,0,3)\cdot(1,0,3) = 1\cdot1 + 0\cdot0 + 3\cdot3 = 1 + 9 = 10.
Para (1,2):
r_{1}\cdot c_{2} = (1,0,3)\cdot(2,4,7) = 1\cdot2 + 0\cdot4 + 3\cdot7 = 2 + 21 = 23.
Para (2,1):
r_{2}\cdot c_{1} = (2,4,7)\cdot(1,0,3) = 2\cdot1 + 4\cdot0 + 7\cdot3 = 2 + 21 = 23.
Para (2,2):
r_{2}\cdot c_{2} = (2,4,7)\cdot(2,4,7) = 2\cdot2 + 4\cdot4 + 7\cdot7 = 4 + 16 + 49 = 69.

Resposta

B^{T}B = \begin{pmatrix} 10 & 23\\\\ 23 & 69 \end{pmatrix}.

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