Sejam
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & -2 & 3 \\\\ 0 & -5 & 4 \\\\ 4 & -3 & 8 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 4 \\\\ 3 & 7 \end{array}\right) \text { e } C=\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right) .
Se possível, calcule os seguintes produtos:
B B^{T}

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
B = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 0 & 4\\\\ 3 & 7 \end{pmatrix}
e pede o cálculo de B B^{T}. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes e transposição: se B é 3\times2 e B^{T} é 2\times3, então B B^{T} será uma matriz 3\times3 cujo elemento (i,j) é
(B B^{T})_{ij} \;=\; \sum_{k=1}^{2} B_{ik}\,(B^{T})_{kj}

Passo 2

Primeiro, transpondo B, temos
B^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\\\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos cada entrada de B B^{T} como produto escalar das linhas de B pelas colunas de B^{T}:
\begin{aligned} (B B^{T})_{11} &= 1\cdot1 + 2\cdot2 = 5,\\\ (B B^{T})_{12} &= 1\cdot0 + 2\cdot4 = 8,\\\ (B B^{T})_{13} &= 1\cdot3 + 2\cdot7 = 17,\\\ (B B^{T})_{21} &= 0\cdot1 + 4\cdot2 = 8,\\\ (B B^{T})_{22} &= 0\cdot0 + 4\cdot4 = 16,\\\ (B B^{T})_{23} &= 0\cdot3 + 4\cdot7 = 28,\\\ (B B^{T})_{31} &= 3\cdot1 + 7\cdot2 = 17,\\\ (B B^{T})_{32} &= 3\cdot0 + 7\cdot4 = 28,\\\ (B B^{T})_{33} &= 3\cdot3 + 7\cdot7 = 58. \end{aligned}

Resposta

B B^{T} = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 17\\\\ 8 & 16 & 28\\\\ 17 & 28 & 58 \end{pmatrix}.

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