Sejam
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & -2 & 3 \\\\ 0 & -5 & 4 \\\\ 4 & -3 & 8 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 4 \\\\ 3 & 7 \end{array}\right) \text { e } C=\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right) .
Se possível, calcule os seguintes produtos:
C^{T} A C.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\\\ 0 & -5 & 4\\\\ 4 & -3 & 8 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}
e pede para calcular a forma quadrática \;C^{T}AC. Vamos usar multiplicação de matrizes em duas etapas: primeiro AC, depois C^{T}(AC).

Passo 2

Calculamos AC. Cada entrada de AC é o produto escalar da linha correspondente de A com o vetor C:
AC = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + (-2)\cdot2 + 3\cdot3\\\\ 0\cdot1 + (-5)\cdot2 + 4\cdot3\\\\ 4\cdot1 + (-3)\cdot2 + 8\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 4 + 9\\\\ 0 - 10 + 12\\\\ 4 - 6 + 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\\\ 2\\\\ 22 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de C^{T} com o resultado acima:
C^{T}(AC) = (1,\,2,\,3) \begin{pmatrix}6\\\ 2\\\ 22\end{pmatrix} =1\cdot6 + 2\cdot2 + 3\cdot22 = 6 + 4 + 66 = 76.

Resposta

C^{T}AC = 76.

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