Sejam a=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots,\right) e b=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}, \ldots,\right) \operatorname{com} a_{i}, b_{i} \in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} para todo i. Se f(a)=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_{i}}{10^{i}}=f(b)=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{b_{i}}{10^{i}} encontre a relação que existe entre a e b. Valor 2

Passo 1

O enunciado nos dá duas sequências de dígitos \displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots,a_{n},\dots) e \displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots,b_{n},\dots),
com a_i,b_i\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, de modo que
f(a)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{a_i}{10^i} \quad\text{e}\quad f(b)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{b_i}{10^i},
e sabemos que f(a)=f(b). O conteúdo aqui é a unicidade da expansão decimal: mostraremos que ou todos os dígitos coincidem ou uma sequência termina em infinitos zeros e a outra em infinitos noves.

Passo 2

Suponha que a\neq b. Seja N o menor índice em que eles diferem, isto é,
a_i=b_i\quad\text{para }i<N, \qquad a_N\neq b_N.
Então escrevemos cada soma como parte até N mais parte “tail”:
f(a)=\sum_{i=1}^{N-1}\frac{a_i}{10^i}+\frac{a_N}{10^N} +\sum_{i=N+1}^{\infty}\frac{a_i}{10^i},
f(b)=\sum_{i=1}^{N-1}\frac{b_i}{10^i}+\frac{b_N}{10^N} +\sum_{i=N+1}^{\infty}\frac{b_i}{10^i}.
Como f(a)=f(b) e os prefixos até N-1 são iguais, obtemos
\frac{a_N}{10^N}+\sum_{i=N+1}^{\infty}\frac{a_i}{10^i} =\frac{b_N}{10^N}+\sum_{i=N+1}^{\infty}\frac{b_i}{10^i}.

Passo 3

Reescrevendo a igualdade acima, isolamos a diferença no dígito N:
\frac{a_N-b_N}{10^N} =\sum_{i=N+1}^{\infty}\frac{b_i-a_i}{10^i}.
O lado direito é limitado por
\Bigl|\sum_{i=N+1}^{\infty}\frac{b_i-a_i}{10^i}\Bigr| \le \sum_{i=N+1}^{\infty}\frac{9}{10^i} =\frac{9}{10^N}\cdot\frac{1}{9}=\frac{1}{10^N}.
Como a_N-b_N é um inteiro entre -9 e 9 e sua divisão por 10^N tem módulo no máximo \tfrac1{10^N}, a única possibilidade não nula é
a_N-b_N=\pm1.

Passo 4

Se a_N-b_N=1, então
\frac{1}{10^N} =\sum_{i=N+1}^{\infty}\frac{b_i-a_i}{10^i},
mas o único modo de somar dígitos em \{0,\dots,9\} e obter exatamente \tfrac1{10^N} é ter b_{i}=9 e a_{i}=0 para todo i>N.
De modo análogo, se b_N-a_N=1, então a_{i}=9 e b_{i}=0 para todo i>N.

Resposta

As duas sequências a e b representam a mesma expansão decimal se, e somente se, ou
  1. a_i=b_i para todo i (as expansões coincidem em todos os dígitos), ou
  2. existe um índice N tal que
  • a_i=b_i para i<N,
  • \{a_N,b_N\}=\{d,d+1\} para algum d\in\{0,\dots,8\},
  • de um lado todos os dígitos após N são zeros e do outro todos são noves.
    Em outras palavras, a única ambiguidade é entre uma expansão que termina em infinitos zeros e outra que termina em infinitos noves.

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