Sejam a=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots,\right) e b=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}, \ldots,\right) \operatorname{com} a_{i}, b_{i} \in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} para todo i. Se f(a)=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_{i}}{10^{i}}=f(b)=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{b_{i}}{10^{i}} encontre a relação que existe entre a e b. Valor 2
Passo 1
O enunciado nos dá duas sequências de dígitos \displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots,a_{n},\dots) e \displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots,b_{n},\dots),
com a_i,b_i\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, de modo que
e sabemos que f(a)=f(b). O conteúdo aqui é a unicidade da expansão decimal: mostraremos que ou todos os dígitos coincidem ou uma sequência termina em infinitos zeros e a outra em infinitos noves.
Passo 2
Suponha que a\neq b. Seja N o menor índice em que eles diferem, isto é,
a_i=b_i\quad\text{para }i<N, \qquad a_N\neq b_N.
Então escrevemos cada soma como parte até N mais parte “tail”:
mas o único modo de somar dígitos em \{0,\dots,9\} e obter exatamente \tfrac1{10^N} é ter b_{i}=9 e a_{i}=0 para todo i>N.
De modo análogo, se b_N-a_N=1, então a_{i}=9 e b_{i}=0 para todo i>N.
Resposta
As duas sequências a e b representam a mesma expansão decimal se, e somente se, ou
a_i=b_i para todo i (as expansões coincidem em todos os dígitos), ou
existe um índice N tal que
a_i=b_i para i<N,
\{a_N,b_N\}=\{d,d+1\} para algum d\in\{0,\dots,8\},
de um lado todos os dígitos após N são zeros e do outro todos são noves.
Em outras palavras, a única ambiguidade é entre uma expansão que termina em infinitos zeros e outra que termina em infinitos noves.