Calcule \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\left(\exp \left(x^{-1}\right)-1-\frac{1}{x}\right) 2 x^{2}+\frac{2}{3 x}\right)^{x}. Valor 2

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\biggl(\bigl(\exp(x^{-1})-1-\tfrac{1}{x}\bigr)\,2x^{2}+\tfrac{2}{3x}\biggr)^{x}.
Esse tipo de limite é do tipo \bigl(1+u(x)\bigr)^{x} com u(x)\to0, e vamos usar a expansão em série de Taylor para \exp(x^{-1}) e a definição do número e.

Passo 2

Expandimos \exp(x^{-1}) em torno de x^{-1}=0 até a ordem relevante:
\exp(x^{-1}) =1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{2x^{2}} + O\!\bigl(x^{-3}\bigr).
Subtraindo 1 e \tfrac1x, obtemos
\exp(x^{-1}) - 1 - \frac{1}{x} = \frac{1}{2x^{2}} + O\!\bigl(x^{-3}\bigr).

Passo 3

Agora multiplicamos por 2x^{2} e somamos \tfrac{2}{3x}:
\bigl(\exp(x^{-1}) - 1 - \tfrac{1}{x}\bigr)\,2x^{2} =1 + \frac{1}{3x} + O\!\bigl(x^{-2}\bigr),
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\bigl(\exp(x^{-1}) - 1 - \tfrac{1}{x}\bigr)\,2x^{2} +\frac{2}{3x} =1 + \frac{1}{x} + O\!\bigl(x^{-2}\bigr).

Passo 4

Fica assim
\Bigl(1 + \tfrac{1}{x} + O(x^{-2})\Bigr)^{x} \;\longrightarrow\; e^{1} =e.

Resposta

e

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