Sejam E=\left\{\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right\} e F=\left\{\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right\} bases de V^{3} tais que \overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{3}} e \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{2}}. Determine a matriz M tal que para todo \vec{u} em V^{3}, vale M[\vec{u}]_{E}=[\vec{u}]_{F}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de V^{3}:
  • E=\{\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}\}.
  • F=\{\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}\} com \overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}},\qquad \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{3}},\qquad \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{2}}.
O que o problema pede: determinar a matriz M tal que, para todo \vec{u}\in V^{3},
M[\vec{u}]_{E}=[\vec{u}]_{F}.
Ou seja, dada a coordenada de \vec{u} na base E (vetor coluna [\vec{u}]_{E}), queremos o vetor coluna de coordenadas de \vec{u} na base F (isto é [\vec{u}]_{F}) por meio de uma multiplicação por M.

Passo 2

Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática):
  • Sempre que temos duas bases E e F, é útil montar a matriz P cujas colunas são as coordenadas dos vetores de F em relação à base E. Escrevendo essas colunas em [\cdot]_E, temos P=\big([\,\overrightarrow{f_{1}}\,]_{E}\\ \\ [\,\overrightarrow{f_{2}}\,]_{E}\\ \\ [\,\overrightarrow{f_{3}}\,]_{E}\big).Essa matriz P satisfaz a relação entre matrizes de base: [\vec{v}]_{E} = P\,[\vec{v}]_{F}\quad\text{para todo \(\vec{v}\).}Explicando por que: se [\vec{v}]_{F} dá os coeficientes na base F, multiplicando P (colunas = vetores de F escritos em E) obtemos os coeficientes de \vec{v} na base E.
  • Da relação acima segue que [\vec{v}]_{F} = P^{-1}\,[\vec{v}]_{E}.Portanto a matriz que transforma coordenadas em E para coordenadas em F é M=P^{-1}. Então a tarefa se reduz a:
    1. montar P usando as expressões dadas de \overrightarrow{f_i} em termos das \overrightarrow{e_j};
    2. inverter P para obter M.

Passo 3

Montar a matriz P cujas colunas são as coordenadas de \overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}} na base E.
  • Para \overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}} as coordenadas em E são [\overrightarrow{f_{1}}]_{E}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{3}} as coordenadas em E são [\overrightarrow{f_{2}}]_{E}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  • Para \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{2}} as coordenadas em E são [\overrightarrow{f_{3}}]_{E}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Portanto
P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Recordando a relação entre coordenadas: para todo \vec{u},
[\vec{u}]_{E}=P\,[\vec{u}]_{F}.
Isolando [\vec{u}]_{F} obtemos
[\vec{u}]_{F}=P^{-1}\,[\vec{u}]_{E}.
Assim a matriz procurada é M=P^{-1}. Agora vamos calcular P^{-1} por escalonamento (inversão por operações elementares).

Passo 5

Calcular P^{-1} usando a matriz aumentada \big[P\mid I\big] e operações de linha.
Começamos com
\big[P\mid I\big]= \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
  1. Fazer R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
  1. Fazer R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right).
  1. Fazer R_{3}\leftarrow -R_{3} (para ter pivô positivo em coluna 3):
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \end{array}\right).
  1. Eliminar o 1 na coluna 3 da linha 2: R_{2}\leftarrow R_{2}-1\cdot R_{3}:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \end{array}\right).
  1. Fazer R_{2}\leftarrow -R_{2} para pivô positivo na coluna 2:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \end{array}\right).
  1. Eliminar o 1 na coluna 2 da linha 1: R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2}:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \end{array}\right).
Agora a parte esquerda é a identidade e a parte direita é P^{-1}. Logo
P^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1\\[4pt] -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação final: como vimos, a matriz buscada M que transforma coordenadas de E em coordenadas de F é M=P^{-1}. Portanto
M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1\\[4pt] -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Como checagem rápida: aplicando M ao vetor coordenado de \overrightarrow{e_{1}} em E, que é \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}, obtemos \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix}, que são exatamente as coordenadas de \overrightarrow{e_{1}} na base F (pois \overrightarrow{e_{1}}=\overrightarrow{f_{1}}+0\cdot\overrightarrow{f_{2}}-1\cdot\overrightarrow{f_{3}}), confirmando que a matriz está correta.]

Resposta

M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1\\[4pt] -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

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