Sejam E=\left\{\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right\} e F=\left\{\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right\} bases de V^{3} tais que \overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{3}} e \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{2}}. Determine a matriz M tal que para todo \vec{u} em V^{3}, vale M[\vec{u}]_{E}=[\vec{u}]_{F}.
O que o problema pede: determinar a matriz M tal que, para todo \vec{u}\in V^{3},
M[\vec{u}]_{E}=[\vec{u}]_{F}.
Ou seja, dada a coordenada de \vec{u} na base E (vetor coluna [\vec{u}]_{E}), queremos o vetor coluna de coordenadas de \vec{u} na base F (isto é [\vec{u}]_{F}) por meio de uma multiplicação por M.
Passo 2
Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática):
Sempre que temos duas bases E e F, é útil montar a matriz P cujas colunas são as coordenadas dos vetores de F em relação à base E. Escrevendo essas colunas em [\cdot]_E, temosP=\big([\,\overrightarrow{f_{1}}\,]_{E}\\ \\ [\,\overrightarrow{f_{2}}\,]_{E}\\ \\ [\,\overrightarrow{f_{3}}\,]_{E}\big).Essa matriz P satisfaz a relação entre matrizes de base:[\vec{v}]_{E} = P\,[\vec{v}]_{F}\quad\text{para todo \(\vec{v}\).}Explicando por que: se [\vec{v}]_{F} dá os coeficientes na base F, multiplicando P (colunas = vetores de F escritos em E) obtemos os coeficientes de \vec{v} na base E.
Da relação acima segue que[\vec{v}]_{F} = P^{-1}\,[\vec{v}]_{E}.Portanto a matriz que transforma coordenadas em E para coordenadas em F é M=P^{-1}. Então a tarefa se reduz a:
montar P usando as expressões dadas de \overrightarrow{f_i} em termos das \overrightarrow{e_j};
inverter P para obter M.
Passo 3
Montar a matriz P cujas colunas são as coordenadas de \overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}} na base E.
Para \overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}} as coordenadas em E são[\overrightarrow{f_{1}}]_{E}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{3}} as coordenadas em E são[\overrightarrow{f_{2}}]_{E}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Para \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{2}} as coordenadas em E são[\overrightarrow{f_{3}}]_{E}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Como checagem rápida: aplicando M ao vetor coordenado de \overrightarrow{e_{1}} em E, que é \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}, obtemos \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix}, que são exatamente as coordenadas de \overrightarrow{e_{1}} na base F (pois \overrightarrow{e_{1}}=\overrightarrow{f_{1}}+0\cdot\overrightarrow{f_{2}}-1\cdot\overrightarrow{f_{3}}), confirmando que a matriz está correta.]