Utilizando as bases E, F e G do exercício anterior, determine as coordenadas do vetor \vec{u}=4 \overrightarrow{g_{1}}+ 2 \overrightarrow{g_{2}}+\overrightarrow{g_{3}} em relação às bases E e F.

Passo 1

O enunciado fornece (pegado do que foi escrito):
  • A existência de três bases E, F e G (do exercício anterior), sem que os vetores das bases tenham sido enviados agora.
  • O vetor \vec{u} é dado na base G por
\vec{u}=4\,\overrightarrow{g_{1}}+2\,\overrightarrow{g_{2}}+1\cdot\overrightarrow{g_{3}}.
O que se pede:
  • Determinar as coordenadas de \vec{u} em relação à base E.
  • Determinar as coordenadas de \vec{u} em relação à base F.
Informações que faltam e que são essenciais:
  • As coordenadas de \overrightarrow{g_{1}},\overrightarrow{g_{2}},\overrightarrow{g_{3}} em relação à base E (ou em relação à base F). Sem essas coordenadas não é possível obter valores numéricos finais. Portanto não dá para fornecer números finais a partir dos dados enviados.

Passo 2

Conceito-chave (o que vamos usar): coordenadas e matriz de mudança de base.
  • Se uma base G tem vetores \overrightarrow{g_{1}},\overrightarrow{g_{2}},\overrightarrow{g_{3}}, o vetor de coordenadas de \vec{u} na base G é
[\vec{u}]_{G}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Para passar de coordenadas em G para coordenadas em E precisamos da matriz de transição de G para E, que chamaremos de P. Essa matriz P é construída colocando como colunas as coordenadas dos vetores de G expressos na base E:
P=\begin{pmatrix} [\overrightarrow{g_{1}}]_{E} & [\overrightarrow{g_{2}}]_{E} & [\overrightarrow{g_{3}}]_{E} \end{pmatrix}.
Aqui cada coluna [\overrightarrow{g_{i}}]_{E} é um vetor coluna de três coordenadas (supondo espaço de dimensão 3).]

Passo 3

Fórmula direta para as coordenadas em E.
  • Uma vez conhecida a matriz P (colunas são as coordenadas dos \overrightarrow{g_i} em E), as coordenadas de \vec{u} em E obtêm-se por multiplicação matricial:
[\vec{u}]_{E}=P\,[\vec{u}]_{G}=P\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Observação prática: isso significa combinar linearmente as colunas de P com coeficientes 4,2,1. Ou seja, se [\overrightarrow{g_{1}}]_{E}=\begin{pmatrix}a_1\a_2\a_3\end{pmatrix}, etc., então
[\vec{u}]_{E}=4\begin{pmatrix}a_1\a_2\a_3\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}b_1\b_2\b_3\end{pmatrix}+1\begin{pmatrix}c_1\c_2\c_3\end{pmatrix}.
Portanto, para obter [\vec{u}]_{E} numericamente é necessário conhecer [\overrightarrow{g_{i}}]_{E} (valores que deveriam estar no exercício anterior).]

Passo 4

Como obter as coordenadas em F: duas abordagens (escolha a que for mais prática se tiver os dados).
Método A (se souber as coordenadas de \overrightarrow{g_i} em F):
  • Forme a matriz
R=\begin{pmatrix} [\overrightarrow{g_{1}}]_{F} & [\overrightarrow{g_{2}}]_{F} & [\overrightarrow{g_{3}}]_{F} \end{pmatrix}.
Então
[\vec{u}]_{F}=R\,[\vec{u}]_{G}=R\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Método B (se souber as coordenadas das bases E e F entre si):
  • Se souber a matriz Q que tem colunas as coordenadas dos vetores de F em E,
Q=\begin{pmatrix} [\overrightarrow{f_{1}}]_{E} & [\overrightarrow{f_{2}}]_{E} & [\overrightarrow{f_{3}}]_{E}\end{pmatrix},
então Q transforma coordenadas em F para coordenadas em E via [v]_{E}=Q\,[v]_{F}. Assim, para obter [\vec{u}]_{F} a partir de [\vec{u}]_{E} usa-se a inversa de Q:
[\vec{u}]_{F}=Q^{-1}\,[\vec{u}]_{E}=Q^{-1}\,P\,[\vec{u}]_{G}.
  • Conclusão: se tens P e Q então
[\vec{u}]_{F}=Q^{-1}P\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Como calcular na prática (passo a passo para fazer na prova sem calculadora, quando possível):
  • Construir P: escrever as coordenadas de \overrightarrow{g_1},\overrightarrow{g_2},\overrightarrow{g_3} em E e formar a matriz cujas colunas são esses vetores.
  • Calcular [\vec{u}]_{E}=P\,(4,2,1)^{T}: multiplicação de matriz 3×3 por vetor 3×1 dá três somas ponderadas fáceis de fazer à mão.
  • Se for preciso [\vec{u}]_{F} e souber Q: montar a matriz aumentada [Q \mid I] e aplicar eliminação de Gauss-Jordan para obter [I \mid Q^{-1}]. Em seguida calcular Q^{-1} \, [\vec{u}]_{E}. Passos para Gauss-Jordan (resumo):
    1. Escrever [Q\mid I].
    2. Usar operações linha elementares para transformar a parte esquerda em I.
    3. O lado direito ficará transformado em Q^{-1}.
    4. Multiplicar Q^{-1} pelo vetor coluna [\vec{u}]_{E}.
  • Se em vez de Q tens diretamente as colunas [\overrightarrow{g_i}]_{F}, usa o Método A que é muito mais rápido: formar R e multiplicar R(4,2,1)^{T}.

Passo 6

Exemplo ilustrativo (não é a sua resposta final; serve para ver o cálculo passo a passo).
Suponha, só como exemplo didático, que na base E as coordenadas de G são
[\overrightarrow{g_{1}}]_{E}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad [\overrightarrow{g_{2}}]_{E}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad [\overrightarrow{g_{3}}]_{E}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Então
P=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]1 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Multiplicando por [\vec{u}]_{G}=(4,2,1)^{T}:
[\vec{u}]_{E}=P\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\cdot4+0\cdot2+1\cdot1\\[4pt] 0\cdot4+1\cdot2+1\cdot1\\[4pt] 1\cdot4+1\cdot2+0\cdot1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\[4pt]3\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Isto mostra concretamente como combinar as colunas de P com os coeficientes 4,2,1.
Se também tivéssemos, por exemplo, que a base F em coordenadas de E tem
Q=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},
então calcularíamos Q^{-1} (aqui é fácil ver que Q^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}) e:
[\vec{u}]_{F}=Q^{-1}[\vec{u}]_{E} =\begin{pmatrix}1&0&-1\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\[4pt]3\\[4pt]6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5-6\\[4pt]3\\[4pt]6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Reforçando: isto é só um exemplo ilustrativo para mostrar o processo; os números reais dependem das coordenadas verdadeiras das bases do seu exercício.]

Passo 7

Resumo prático para você aplicar na prova (roteiro rápido, passo a passo):
  1. Escrever [\vec{u}]_{G}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  2. Obter as colunas [\overrightarrow{g_i}]_{E} (do enunciado anterior) e formar P.
  3. Calcular [\vec{u}]_{E}=P\,(4,2,1)^{T} (multiplicação de matriz por vetor).
  4. Para [\vec{u}]_{F}:
    • Se tiver [\overrightarrow{g_i}]_{F}, formar R e calcular R\,(4,2,1)^{T}.
    • Se tiver apenas Q (vetores de F em E), calcular Q^{-1} (Gauss-Jordan) e então Q^{-1}[\vec{u}]_{E}.
  5. Escreva claramente as coordenadas obtidas; conferir fazendo a combinação linear dos vetores da base E ou F para verificar que resulta no mesmo \vec{u}.]

Passo 8

Motivo pelo qual não foi possível dar números finais:
  • O enunciado que chegou aqui não incluiu as coordenadas dos vetores das bases E, F e G (essas informações estavam no exercício anterior). Sem essas coordenadas não há como computar numericamente P ou Q, e portanto não há como fornecer valores numéricos para [\vec{u}]_{E} e [\vec{u}]_{F}.

Resposta

[ \vec{u} ]_{E}=P\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}, onde P=\big([\overrightarrow{g_{1}}]_{E}\;[\overrightarrow{g_{2}}]_{E}\;[\overrightarrow{g_{3}}]_{E}\big).
[ \vec{u} ]_{F}=R\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix} se R=\big([\overrightarrow{g_{1}}]_{F}\;[\overrightarrow{g_{2}}]_{F}\;[\overrightarrow{g_{3}}]_{F}\big) estiver disponível; caso contrário, se Q=\big([\overrightarrow{f_{1}}]_{E}\;[\overrightarrow{f_{2}}]_{E}\;[\overrightarrow{f_{3}}]_{E}\big) então
[ \vec{u} ]_{F}=Q^{-1}P\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

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