Sejam A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 6\end{array}\right], \mathbf{b}_{1}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 5\end{array}\right], \mathbf{b}_{2}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2\end{array}\right] e \mathbf{b}_{3}=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 0\end{array}\right]
(a) Encontre A^{-1} e use-a para resolver os três sistemas A \mathbf{x} =\mathbf{b}_{1}, A \mathbf{x}=\mathbf{b}_{2} \mathrm{e} A \mathbf{x}=\mathbf{b}_{3}.
(b) Resolva todos os três sistemas simultaneamente reduzindo por linhas a matriz completa \left[A \mid \mathbf{b}_{1} \mathbf{b}_{2} \mathbf{b}_{3}\right], por meio do escalonamento de Gauss-Jordan.
(c) Conte cuidadosamente o número total de multiplicações
individuais que você efetuou em (a) e em (b). Você deve descobrir que, mesmo para esse exemplo 2 \times 2, um método usa menos operações. Para sistemas maiores, a diferença é ainda mais acentuada, e isso explica por que sistemas computacionais não usam um desses métodos para resolver sistemas lineares.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\\ 2 & 6\end{pmatrix}
e os vetores
\mathbf b_1 = \begin{pmatrix}3\\\ 5\end{pmatrix},\quad \mathbf b_2 = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\end{pmatrix},\quad \mathbf b_3 = \begin{pmatrix}2\\\ 0\end{pmatrix}.
Pede em (a) calcular A^{-1} e usar para resolver A\mathbf x=\mathbf b_i. Em (b) resolver os três sistemas de uma vez pela forma aumentada \bigl[A\mid \mathbf b_1\,\mathbf b_2\,\mathbf b_3\bigr] via Gauss–Jordan. Em (c) comparar o número de multiplicações em (a) e em (b).

Passo 2

Calcular A^{-1}. Primeiro o determinante:
\det(A)=1\cdot6 - 2\cdot2 = 6 - 4 = 2,
foram 2 multiplicações. A matriz adjunta (trocar a=d, trocar de sinal em b,c) dá
\mathrm{adj}(A)=\begin{pmatrix}6 & -2\\\ -2 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicar cada entrada por 1/2 exige 4 multiplicações. Logo
A^{-1}=\frac1{2}\begin{pmatrix}6 & -2\\\ -2 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & -1\\\ -1 & \tfrac12\end{pmatrix}.

Passo 3

Usar \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}. Cada produto de 2\times2 por 2\times1 faz 4 multiplicações.
Para \mathbf{b}_1:
\mathbf{x}^{(1)} =\begin{pmatrix}3 & -1\\\ -1 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\\ 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\cdot3 +(-1)\cdot5\\[-0.3em]-1\cdot3 + \tfrac{1}{2}\cdot5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\\ -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Para \mathbf{b}_2:
\mathbf{x}^{(2)} =\begin{pmatrix}3\cdot(-1)+(-1)\cdot2\\[-0.3em]-1\cdot(-1)+\tfrac{1}{2}\cdot2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-5\\\ 2\end{pmatrix}.
Para \mathbf{b}_3:
\mathbf{x}^{(3)} =\begin{pmatrix}3\cdot2 +(-1)\cdot0\\[-0.3em]-1\cdot2 +\tfrac{1}{2}\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\\\ -2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Resolver pela forma aumentada
\bigl[A\mid \mathbf b_1\,\mathbf b_2\,\mathbf b_3\bigr] =\begin{pmatrix} 1 & 2 &\vrule& 3 & -1 & 2\\\\ 2 & 6 &\vrule& 5 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
1. R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 elimina o 2 em a_{21}, multiplicando 5 colunas por 2 ( 5 multiplicações) e subtraindo.
2. Obtemos
\bigl[\begin{smallmatrix}1&2&\vrule&3&-1&2\\\ 0&2&\vrule&-1&4&-4\end{smallmatrix}\bigr].
3. R_2 \leftarrow \tfrac12R_2 ( 5 multiplicações) torna o pivô 1, ficando
\bigl[\begin{smallmatrix}1&2&\vrule&3&-1&2\\\ 0&1&\vrule&-\tfrac12&2&-2\end{smallmatrix}\bigr].
4. R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2 elimina o 2 em a_{12}, mais 5 multiplicações, dando
\bigl[\begin{smallmatrix}1&0&\vrule&4&-5&6\\\ 0&1&\vrule&-\tfrac12&2&-2\end{smallmatrix}\bigr].
As colunas finais são exatamente os mesmos \mathbf x^{(1)},\mathbf x^{(2)},\mathbf x^{(3)} do método da inversa.

Passo 5

Contar multiplicações:
(a) Para obter A^{-1}: 2 (det) +4 (escala de adjunta) =6. Para cada vetor \mathbf b_i: 4, e são 3 vetores \to 12. Total em (a) =6+12=18.
(b) Em Gauss–Jordan:
– eliminar R_2: 5 multiplica;
– escalar R_2: 5 multiplica;
– eliminar R_1: 5 multiplica.
Total em (b) =5+5+5=15.

Resposta

(a)
A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -1\\\ -1 & \tfrac12\end{pmatrix},\quad \mathbf x^{(1)}=\begin{pmatrix}4\\\ -\tfrac12\end{pmatrix},\; \mathbf x^{(2)}=\begin{pmatrix}-5\\\ 2\end{pmatrix},\; \mathbf x^{(3)}=\begin{pmatrix}6\\\ -2\end{pmatrix}.
(b) Pela eliminação Gauss–Jordan chegamos à mesma solução simultaneamente.
(c) Método da inversa: 18 multiplicações. Gauss–Jordan: 15 multiplicações. Gauss–Jordan usa menos operações.

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