1. Sejam \mathbb{S}^{1}=\{z \in \mathbb{C} ;|z|=1\} e f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} uma função inteira tal que f\left(\mathbb{S}^{1}\right) \subset \mathbb{R}. Demonstre que f é constante no disco unitário fechado \mathbb{D}=\{z \in \mathbb{C} ;|z| \leq 1\}.

Passo 1

O enunciado considera \mathbb{S}^1=\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\} e f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} inteira com f(\mathbb{S}^1)\subset\mathbb{R}. Precisamos mostrar que f é constante no disco fechado \mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}:|z|\le1\}. Vamos usar o fato de que a parte imaginária de f é harmônica e o teorema do mapeamento aberto.

Passo 2

Escrevemos
f(z)=u(z)+i\,v(z)
onde u,v:\mathbb{C}\to\mathbb{R}. Como f é inteira, v é uma função harmônica em \{\,|z|<1\} e contínua em \{\,|z|\le1\}. Em cada z\in\mathbb{S}^1 temos f(z)\in\mathbb{R}, logo
\!v(z)=\Im f(z)=0\quad\text{para }|z|=1.

Passo 3

Pelo princípio do máximo para funções harmônicas, se uma função harmônica tem valor constante no contorno de um domínio, então ela é constante em todo o domínio. Assim v(z)=0 para todo z com |z|<1. Em outras palavras,
\!f(z)=u(z)\in\mathbb{R}\quad\text{para }|z|<1.

Passo 4

Se f não fosse constante em \{\,|z|<1\}, pelo teorema do mapeamento aberto sua imagem seria um conjunto aberto em \mathbb{C}. Mas vimos que f(\{\,|z|<1\})\subset\mathbb{R}, e a reta real não contém abertos de \mathbb{C}. Isso é uma contradição, logo f deve ser constante em \{\,|z|<1\}, e portanto também em \{\,|z|\le1\}.

Resposta

f é constante em \mathbb{D}.

Exercícios relacionados