- Sejam
e
uma função inteira tal que
. Demonstre que
é constante no disco unitário fechado
.
Passo 1
O enunciado considera
e
inteira com
. Precisamos mostrar que
é constante no disco fechado
. Vamos usar o fato de que a parte imaginária de
é harmônica e o teorema do mapeamento aberto.
Passo 2
Escrevemos
onde
. Como
é inteira,
é uma função harmônica em
e contínua em
. Em cada
temos
, logo
Passo 3
Pelo princípio do máximo para funções harmônicas, se uma função harmônica tem valor constante no contorno de um domínio, então ela é constante em todo o domínio. Assim
para todo
com
. Em outras palavras,
Passo 4
Se
não fosse constante em
, pelo teorema do mapeamento aberto sua imagem seria um conjunto aberto em
. Mas vimos que
, e a reta real não contém abertos de
. Isso é uma contradição, logo
deve ser constante em
, e portanto também em
.