Sejam a, b, c \in \mathbb{R} e seja \mathcal{B}=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} uma base de \mathbb{R}^{3}. Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} o operador linear cuja matriz em relação à base \mathcal{B} é \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\ a & b & c\end{array}\right]. Se \operatorname{Ker}(T)=\left[e_{1}+e_{2}+e_{3}\right], o polinômio característico de T é p(t)=-t(t-2)^{2} e T é diagonalizável, então a^{2}-b^{2}+c^{2} é igual a
(A) 1
(B) 9
(C) 7
(D) 4
(E) 3
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para não nos perder):
Temos a,b,c\in\mathbb{R}.
A base \mathcal{B}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\} de \mathbb{R}^{3}.
A matriz de T na base \mathcal{B} é
M=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\[4pt] -1 & 1 & 0 \\[4pt] a & b & c\end{pmatrix}.
\operatorname{Ker}(T)=\left[e_{1}+e_{2}+e_{3}\right]; isto é, o núcleo é o subespaço gerado por e_{1}+e_{2}+e_{3}.
O polinômio característico de T é p(t)=-t(t-2)^{2}.
T é diagonalizável.
O que o exercício pede: calcular o valor de a^{2}-b^{2}+c^{2}.]
Passo 2
Usar a informação sobre o núcleo para obter uma relação entre a,b,c.
Explicação didática: se \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\{v\} com v=e_{1}+e_{2}+e_{3}, então T(v)=0. Em coordenadas em relação à base \mathcal{B}, o vetor v corresponde ao vetor coluna \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}. Portanto calculemos M\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
onde \operatorname{tr}A é a soma das entradas da diagonal de A (o traço) e S é a soma dos determinantes dos menores principais 2\times2 (a soma das “subdeterminantes principais”). Assim, comparando com o polinômio dado, podemos igualar coeficientes.
\operatorname{tr}M = 4,\qquad S = 4,\qquad \det M = 0.
Passo 4
Calcular o traço de M e obter c.
Cálculo do traço:
\operatorname{tr}M = 1 + 1 + c = 2 + c.
Como \operatorname{tr}M = 4, segue que
2 + c = 4 \quad\Longrightarrow\quad c = 2.
Passo 5
Verificar a soma dos menores principais (checar consistência) e reafirmar c=2.
Aula curta: os menores principais de ordem 2 são os determinantes obtidos eliminando simultaneamente a i-ésima linha e i-ésima coluna, para i=1,2,3. Calculamos cada um:
Removendo a 1ª linha e 1ª coluna:
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt] b & c\end{pmatrix} = 1\cdot c - 0\cdot b = c.
Removendo a 2ª linha e 2ª coluna:
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt] a & c\end{pmatrix} = 1\cdot c - 0\cdot a = c.
Soma S = c + c + 0 = 2c. Como sabemos por comparação que S=4, segue 2c=4 e então c=2, o que confirma o resultado do passo anterior.]
Passo 6
Usar a diagonalizabilidade e a multiplicidade do autovalor 2 para encontrar a e b.
Explicação didática: o polinômio p(t)=-t(t-2)^{2} mostra que 0 é autovalor com multiplicidade algébrica 1 e 2 é autovalor com multiplicidade algébrica 2. Como T é diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor é igual à multiplicidade algébrica. Assim, o espaço próprio de 2 tem dimensão 2. Para um autovalor \lambda, a dimensão do espaço próprio é 3-\operatorname{rank}(M-\lambda I). Portanto, para \lambda=2 devemos ter \operatorname{rank}(M-2I)=1.
Calculemos M-2I (lembrando que já temos c=2):
M-2I = \begin{pmatrix} 1-2 & -1 & 0\\[2pt] -1 & 1-2 & 0\\[2pt] a & b & 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\[2pt] -1 & -1 & 0\\[2pt] a & b & 0 \end{pmatrix}.
Observação: as duas primeiras linhas são iguais, então já temos pelo menos uma dependência linear. Para que a rank seja 1 (ou seja, só exista uma linha independente), a terceira linha (a,b,0) deve ser múltiplo escalar da primeira linha (-1,-1,0). Logo existem k\in\mathbb{R} tal que
(a,b,0) = k(-1,-1,0).
Isso implica a=-k e b=-k, portanto a=b.
Usando a relação obtida no Passo 2, a+b+c=0, com c=2, temos
a+b+2=0 \quad\Longrightarrow\quad a+b=-2.
Como a=b, segue 2a=-2 e portanto
a=b=-1.]
Passo 7
Calcular a^{2}-b^{2}+c^{2} substituindo os valores encontrados.