(2 pontos) Seja T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} \mathrm{um} operador linear definido por
T(x, y, z)=(-2 z, x+2 y+z, x+3 z) .
Verifique se T é um operador linear diagonalizável. Se sim, forneça a base de autovetores e a matriz em relação a esta base.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z)=(-2z,\; x+2y+z,\; x+3z).
O que se pede:
  • Verificar se T é diagonalizável (isto é, se existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de T).
  • Se for diagonalizável, fornecer uma base de autovetores e a matriz de T nessa base.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
T(x,y,z)=(-2z,\; x+2y+z,\; x+3z).

Passo 2

Primeiro vamos escrever a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1).
Calculo as imagens:
T(e_1)=T(1,0,0)=(0,1,1),
T(e_2)=T(0,1,0)=(0,2,0),
T(e_3)=T(0,0,1)=(-2,1,3).
A matriz A de T na base canônica tem essas colunas:
A=\begin{pmatrix}0 & 0 & -2\\[4pt] 1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Vamos calcular o polinômio característico p(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Escrevendo
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-\lambda & 0 & -2\\[4pt] 1 & 2-\lambda & 1\\[4pt] 1 & 0 & 3-\lambda\end{pmatrix},
uma boa estratégia é desenvolver pela segunda coluna (pois tem zeros nos lugares 1 e 3). Assim
p(\lambda)=(2-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & -2\\[4pt] 1 & 3-\lambda\end{pmatrix}.
Agora calculamos o determinante 2×2:
\det\begin{pmatrix}-\lambda & -2\\[4pt] 1 & 3-\lambda\end{pmatrix}=(-\lambda)(3-\lambda)-(-2)\cdot 1=\lambda^2-3\lambda+2.
Logo
p(\lambda)=(2-\lambda)(\lambda^2-3\lambda+2).]

Passo 4

Fatorizamos o polinômio quadrático \lambda^2-3\lambda+2=(\lambda-1)(\lambda-2). Portanto
p(\lambda)=(2-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-2).
Os autovalores são \lambda=1 e \lambda=2. Note que \lambda=2 aparece com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=1 com multiplicidade 1.

Passo 5

Agora encontramos o espaço próprio (e autovetores) para \lambda=1. Resolvemos (A-I)v=0.
A-I=\begin{pmatrix}-1 & 0 & -2\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 2\end{pmatrix}.
Escrevendo as equações para v=(x,y,z):
- x - 2z = 0,
x + y + z = 0,
x + 2z = 0.
As equações 1 e 3 dão a mesma relação x=-2z. Substituindo na segunda:
-2z + y + z = 0 \quad\Rightarrow\quad y = z.
Tomando parâmetro t=z, obtemos
v=t(-2,1,1).
Portanto o espaço próprio associado a \lambda=1 é gerado por (-2,1,1) e tem dimensão 1.]

Passo 6

Agora o espaço próprio para \lambda=2. Resolvemos (A-2I)v=0.
A-2I=\begin{pmatrix}-2 & 0 & -2\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
As equações para v=(x,y,z) são
-2x - 2z = 0,
x + z = 0,
x + z = 0.
As duas últimas são idênticas: x=-z. A variável y não aparece nas equações, logo é livre. Ponha y=s e z=t, então x=-t. Assim
v = s(0,1,0) + t(-1,0,1).
Portanto um sistema gerador (base do espaço próprio) é \{(0,1,0),\; (-1,0,1)\}. O espaço próprio de \lambda=2 tem dimensão 2, igual à multiplicidade algébrica 2.]

Passo 7

Condição de diagonalizabilidade: um operador em \mathbb{R}^3 é diagonalizável se a soma das dimensões dos espaços próprios for 3 (isto é, se existir uma base de 3 autovetores linearmente independentes). Aqui as dimensões são \dim E_{1}=1 e \dim E_{2}=2, somando 1+2=3. Logo existem 3 autovetores linearmente independentes e T é diagonalizável.
Para ficar seguro, podemos verificar que os vetores escolhidos são realmente autovetores:
T(-2,1,1)=(-2,1,1)=1\cdot(-2,1,1),
T(0,1,0)=(0,2,0)=2\cdot(0,1,0),
T(-1,0,1)=(-2,0,2)=2\cdot(-1,0,1).
Isto confirma os autovalores correspondentes.

Passo 8

Portanto uma base de autovetores (ordenada) pode ser, por exemplo,
\mathcal{B}=\{\,(-2,1,1),\; (0,1,0),\; (-1,0,1)\,\},
onde o primeiro vetor corresponde a \lambda=1 e os dois últimos a \lambda=2.
Na base \mathcal{B} a matriz de T é diagonal com entradas os autovalores na ordem dos vetores da base, isto é
[D]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2\end{pmatrix}.]

Resposta

Base de autovetores: \{\,(-2,1,1),\; (0,1,0),\; (-1,0,1)\,\}
Matriz em relação a essa base: \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2\end{pmatrix}]

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