Sejam
\mathbf{F}_{1}
e
\mathbf{F}_{2}
campos vetoriais diferenciáveis e sejam
a
e
b
constantes reais arbitrárias. Verifique as identidades a seguir.
\nabla \cdot\left(\mathbf{F}_{1} \times \mathbf{F}_{2}\right)=\mathbf{F}_{2} \cdot \nabla \times \mathbf{F}_{1}-\mathbf{F}_{1} \cdot \nabla \times \mathbf{F}_{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade de cálculo vetorial
\nabla \cdot (\mathbf{F}_{1} \times \mathbf{F}_{2}) = \mathbf{F}_{2}\cdot(\nabla \times \mathbf{F}_{1}) - \mathbf{F}_{1}\cdot(\nabla \times \mathbf{F}_{2})
onde \mathbf{F}_{1} e \mathbf{F}_{2} são campos vetoriais diferenciáveis. Vamos usar notação de índices com o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk} e a regra do produto para derivadas.

Passo 2

Escrevemos o divergente do produto vetorial em notação de índices:
\nabla \cdot (\mathbf{F}_{1} \times \mathbf{F}_{2}) = \partial_{i}\bigl(\varepsilon_{ijk}\,(F_{1})_{j}\,(F_{2})_{k}\bigr),
onde vale a convenção de soma sobre índices repetidos.

Passo 3

Aplicando a regra do produto à derivada, obtemos
\partial_{i}\bigl(\varepsilon_{ijk}\,(F_{1})_{j}\,(F_{2})_{k}\bigr) = \varepsilon_{ijk}\,(\partial_{i}(F_{1})_{j})\,(F_{2})_{k} + \varepsilon_{ijk}\,(F_{1})_{j}\,(\partial_{i}(F_{2})_{k}).

Passo 4

Reconhecemos cada termo como um produto escalar envolvendo rotação (curl). De fato,
(\nabla\times\mathbf{F}_{1})_{k} = \varepsilon_{kij}\,\partial_{i}(F_{1})_{j},
e como \varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{kij} por permutação cíclica, o primeiro termo vira
\varepsilon_{ijk}\,(\partial_{i}(F_{1})_{j})\,(F_{2})_{k} = (F_{2})_{k}\,(\nabla\times\mathbf{F}_{1})_{k} = \mathbf{F}_{2}\cdot(\nabla\times\mathbf{F}_{1}).
Analogamente, trocando papéis de 1 e 2 e usando \varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{kij}, o segundo termo é
\varepsilon_{ijk}\,(F_{1})_{j}\,(\partial_{i}(F_{2})_{k}) = -\mathbf{F}_{1}\cdot(\nabla\times\mathbf{F}_{2}).

Passo 5

Somando os dois resultados, conclui-se
\nabla \cdot (\mathbf{F}_{1} \times \mathbf{F}_{2}) = \mathbf{F}_{2}\cdot(\nabla \times \mathbf{F}_{1}) - \mathbf{F}_{1}\cdot(\nabla \times \mathbf{F}_{2}),
como desejado.

Resposta

\nabla \cdot (\mathbf{F}_{1} \times \mathbf{F}_{2}) = \mathbf{F}_{2}\cdot(\nabla \times \mathbf{F}_{1}) - \mathbf{F}_{1}\cdot(\nabla \times \mathbf{F}_{2}).

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