Sejam
e
campos vetoriais diferenciáveis e sejam
e
constantes reais arbitrárias. Verifique as identidades a seguir.
e
campos vetoriais diferenciáveis e sejam
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade de cálculo vetorial
onde
e
são campos vetoriais diferenciáveis. Vamos usar notação de índices com o símbolo de Levi-Civita
e a regra do produto para derivadas.
Passo 2
Escrevemos o divergente do produto vetorial em notação de índices:
onde vale a convenção de soma sobre índices repetidos.
Passo 3
Aplicando a regra do produto à derivada, obtemos
Passo 4
Reconhecemos cada termo como um produto escalar envolvendo rotação (curl). De fato,
e como
por permutação cíclica, o primeiro termo vira
Analogamente, trocando papéis de
e
e usando
, o segundo termo é
Passo 5
Somando os dois resultados, conclui-se
como desejado.