Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de \mathbf{F} através da fronteira da região D.
15. Esfera espessa \mathbf{F}=\left(5 x^{3}+12 x y^{2}\right) \mathbf{i}+\left(y^{3}+e^{y} \operatorname{sen} z\right) \mathbf{j}+\left(5 z^{3}+\right. \left.e^{y} \cos z\right) \mathbf{k}
D: A região sólida entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e x^{2}+y^{2}+ z^{2}=2.

Passo 1

Resumindo, queremos o fluxo exterior de \mathbf{F}=(5x^3+12xy^2)\,\mathbf{i} + (y^3+e^y\sin z)\,\mathbf{j} + (5z^3+e^y\cos z)\,\mathbf{k}
através da fronteira de D, a região entre as esferas \;x^2+y^2+z^2=1 e \;x^2+y^2+z^2=2.
Pelo Teorema da Divergência:
\iint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \;=\;\iiint_{D}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(5x^3+12xy^2) +\frac{\partial}{\partial y}(y^3+e^y\sin z) +\frac{\partial}{\partial z}(5z^3+e^y\cos z).

Passo 3

As derivadas parciais são
\frac{\partial}{\partial x}(5x^3+12xy^2)=15x^2+12y^2, \quad \frac{\partial}{\partial y}(y^3+e^y\sin z)=3y^2+e^y\sin z,
\frac{\partial}{\partial z}(5z^3+e^y\cos z)=15z^2 - e^y\sin z.
Somando, nota-se que +e^y\sin z e -e^y\sin z se cancelam, restando
\nabla\cdot\mathbf{F} =15x^2+15y^2+15z^2 =15\,(x^2+y^2+z^2).

Passo 4

Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) temos \;x^2+y^2+z^2=r^2 e \;dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Logo
\iiint_{D}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV =\int_{r=1}^{\sqrt2}\!\!\int_{\theta=0}^{\pi}\!\!\int_{\varphi=0}^{2\pi} 15\,r^2\;\bigl(r^2\sin\theta\bigr)\,d\varphi\,d\theta\,dr.

Passo 5

Separamos a integral em parte angular e radial:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi, \quad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2,
\int_{1}^{\sqrt2}15\,r^4\,dr =15\left[\frac{r^5}{5}\right]_{1}^{\sqrt2} =3\bigl((\sqrt2)^5 - 1\bigr) =3\,(4\sqrt2 - 1).
Multiplicando tudo:
2\pi \times 2 \times 3\,(4\sqrt2 - 1) =12\pi\,(4\sqrt2 - 1).

Resposta

12\pi(4\sqrt2 - 1)

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