Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de
através da fronteira da região
.
15. Esfera espessa
D: A região sólida entre as esferas
e
.
15. Esfera espessa
D: A região sólida entre as esferas
Passo 1
Resumindo, queremos o fluxo exterior de
através da fronteira de , a região entre as esferas
e
.
Pelo Teorema da Divergência:
através da fronteira de
Pelo Teorema da Divergência:
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
As derivadas parciais são
Somando, nota-se que
e
se cancelam, restando
Passo 4
Em coordenadas esféricas
temos
e
.
Logo
Logo
Passo 5
Separamos a integral em parte angular e radial:
Multiplicando tudo: