Sejam
. Determine
Passo 1
O enunciado fornece os vetores
e pede para determinar o vetor
.
Passo 2
Vou usar uma identidade muito útil para produtos vetoriais em cadeia (chamada de identidade BAC–CAB). Antes, um lembrete rápido do que são produto escalar e produto vetorial:
- O produto escalar (dot product) de dois vetores
e é
um número real.
- O produto vetorial (cross product)
é um vetor ortogonal a e ; em coordenadas:
A identidade BAC–CAB diz que, para quaisquer vetores
,
Aqui é perfeito: tomando
,
,
obtemos
Escolhi essa identidade porque faz a conta apenas com produtos escalares e combinações lineares — é direto e menos propenso a erro do que calcular dois produtos vetoriais seguidos.
Passo 3
Calcular os produtos escalares que aparecem na identidade.
Calcule
:
Calcule
:
Passo 4
Substituir na identidade:
Agora multiplicar cada vetor pelo escalar e fazer a subtração componente a componente.
Primeiro
:
Depois
:
Agora
:
Passo 5
(Facultativo para entendimento) Podemos notar que cada componente tem fator comum
:
Isso não altera o resultado, apenas simplifica a escrita se desejar.
Passo 6
(Verificação por cálculo direto — útil para treinar a fórmula do produto vetorial) Calcular
pela definição e depois o produto vetorial com
para conferir.
Calcule
:
Agora
:
que confirma o resultado obtido pela identidade.