Sejam \mathbf{u}=\langle 2,-1,3\rangle, \mathbf{v}=\langle 0,1,7\rangle \mathrm{e} \mathbf{w}=\langle 1,4,5\rangle. Determine
(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w}

Passo 1

O enunciado fornece os vetores
\mathbf{u}=\langle 2,-1,3\rangle,\qquad \mathbf{v}=\langle 0,1,7\rangle,\qquad \mathbf{w}=\langle 1,4,5\rangle
e pede para determinar o vetor (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\times\mathbf{w}.

Passo 2

Vou usar uma identidade muito útil para produtos vetoriais em cadeia (chamada de identidade BAC–CAB). Antes, um lembrete rápido do que são produto escalar e produto vetorial:
  • O produto escalar (dot product) de dois vetores \mathbf{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle e \mathbf{b}=\langle b_1,b_2,b_3\rangle é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3,
um número real.
  • O produto vetorial (cross product) \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor ortogonal a \mathbf{a} e \mathbf{b}; em coordenadas:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\langle a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\rangle.
A identidade BAC–CAB diz que, para quaisquer vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}=\mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{a}\,(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}).
Aqui é perfeito: tomando \mathbf{a}=\mathbf{u}, \mathbf{b}=\mathbf{v}, \mathbf{c}=\mathbf{w} obtemos
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\times\mathbf{w}=\mathbf{v}\,(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})-\mathbf{u}\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}).
Escolhi essa identidade porque faz a conta apenas com produtos escalares e combinações lineares — é direto e menos propenso a erro do que calcular dois produtos vetoriais seguidos.

Passo 3

Calcular os produtos escalares que aparecem na identidade.
Calcule \mathbf{u}\cdot\mathbf{w}:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=2\cdot1+(-1)\cdot4+3\cdot5=2-4+15=13.
Calcule \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=0\cdot1+1\cdot4+7\cdot5=0+4+35=39.

Passo 4

Substituir na identidade:
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\times\mathbf{w}=13\,\mathbf{v}-39\,\mathbf{u}.
Agora multiplicar cada vetor pelo escalar e fazer a subtração componente a componente.
Primeiro 13\,\mathbf{v}:
13\,\mathbf{v}=13\langle 0,1,7\rangle=\langle 0,13,91\rangle.
Depois 39\,\mathbf{u}:
39\,\mathbf{u}=39\langle 2,-1,3\rangle=\langle 78,-39,117\rangle.
Agora 13\mathbf{v}-39\mathbf{u}:
\langle 0,13,91\rangle-\langle 78,-39,117\rangle=\langle 0-78,\;13-(-39),\;91-117\rangle=\langle -78,52,-26\rangle.

Passo 5

(Facultativo para entendimento) Podemos notar que cada componente tem fator comum 26:
\langle -78,52,-26\rangle=26\langle -3,2,-1\rangle.
Isso não altera o resultado, apenas simplifica a escrita se desejar.

Passo 6

(Verificação por cálculo direto — útil para treinar a fórmula do produto vetorial) Calcular \mathbf{u}\times\mathbf{v} pela definição e depois o produto vetorial com \mathbf{w} para conferir.
Calcule \mathbf{u}\times\mathbf{v}:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\langle (-1)\cdot7-3\cdot1,\;3\cdot0-2\cdot7,\;2\cdot1-(-1)\cdot0\rangle=\langle -10,-14,2\rangle.
Agora (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\times\mathbf{w}:
\langle -10,-14,2\rangle\times\langle 1,4,5\rangle
=\langle (-14)\cdot5-2\cdot4,\;2\cdot1-(-10)\cdot5,\;(-10)\cdot4-(-14)\cdot1\rangle=\langle -78,52,-26\rangle,
que confirma o resultado obtido pela identidade.

Resposta

\langle -78,52,-26\rangle

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