DETERMINE, EM CADA CASO, A MATRIZ X :
X=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 5 \\ -1 & 7 & 2\end{array}\right]^{\mathrm{t}}\

Passo 1

O enunciado pede para determinar a matriz X sabendo que
X=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 5 \\\\ -1 & 7 & 2\end{array}\right]^{\mathrm{t}}.
Informações dadas:
  • A matriz dentro do expoente transposto é a matriz 2\times3
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 5 \\\\ -1 & 7 & 2\end{array}\right].
  • A operação indicada é a transposição (o símbolo \mathrm{t} em expoente).
O objetivo é calcular explicitamente a matriz X, ou seja, aplicar a transposição à matriz dada.

Passo 2

O que significa transpor uma matriz? Vou explicar bem devagarinho, como combinar peças de LEGO:
  • Se A é uma matriz de dimensão m\times n então sua transposta A^{\mathrm{t}} tem dimensão n\times m.
  • A regra para os elementos é
(A^{\mathrm{t}})_{ij}=A_{ji},
ou seja, o elemento que está na linha i, coluna j de A^{\mathrm{t}} é exatamente o elemento que estava na linha j, coluna i de A.
Aqui, como A é 2\times3, sua transposta X=A^{\mathrm{t}} será uma matriz 3\times2.

Passo 3

Vamos construir X pegando as colunas de A e transformando-as em linhas de X.
  • A primeira coluna de A é
\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix},
portanto a primeira linha de X será \bigl[\,1\; -1\,\bigr].
  • A segunda coluna de A é
\begin{pmatrix}2\\[4pt]7\end{pmatrix},
portanto a segunda linha de X será \bigl[\,2\; 7\,\bigr].
  • A terceira coluna de A é
\begin{pmatrix}5\\[4pt]2\end{pmatrix},
portanto a terceira linha de X será \bigl[\,5\; 2\,\bigr].
Assim obtivemos todas as linhas de X. (Se quiser checar um elemento qualquer: por exemplo (X)_{2,1}=(A)_{1,2}=2, está consistente.)]

Passo 4

Agora que cada linha de X foi determinada a partir das colunas de A, estamos prontos para escrever a matriz resultado.

Resposta

X=\begin{pmatrix} 1 & -1\\[4pt] 2 & 7\\[4pt] 5 & 2 \end{pmatrix}]

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