Sejam \mathbf{r}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k} e r=|\mathbf{r}|.
\nabla^{2} r^{3}=12 r

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Laplaciano da função escalar
f(\mathbf{r}) = r^{3},
onde \mathbf{r}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k} e r=|\mathbf{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
O conteúdo envolve cálculo vetorial: usar as definições de gradiente e divergência para obter \nabla^{2}(r^{3}).

Passo 2

Vamos primeiro achar o gradiente de r^{3} usando a regra da cadeia.
\nabla(r^{3}) = 3r^{2}\,\nabla r.
Como
\nabla r = \nabla\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\bigr) = \frac{x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}}{r} = \frac{\mathbf{r}}{r},
temos
\nabla(r^{3}) = 3r^{2}\,\frac{\mathbf{r}}{r} = 3r\,\mathbf{r}.

Passo 3

Agora aplicamos o operador divergência ao vetor 3r\,\mathbf{r}. Usamos a identidade
\nabla\cdot\bigl(f\,\mathbf{A}\bigr) = \nabla f\cdot \mathbf{A} + f\,\nabla\cdot\mathbf{A},
com f=3r e \mathbf{A}=\mathbf{r}. Calculamos
\nabla f = 3\,\nabla r = 3\,\frac{\mathbf{r}}{r}, \qquad \nabla\cdot\mathbf{r} = \frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=3.
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\nabla^{2}(r^{3}) = \nabla\cdot\bigl(3r\,\mathbf{r}\bigr) = \left(3\frac{\mathbf{r}}{r}\right)\cdot\mathbf{r} + 3r\cdot 3 = 3r + 9r =12\,r.

Resposta

\nabla^{2}r^{3}=12\,r

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