Verifique as identidades.
\nabla \ln r=\mathbf{r} / r^{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \r
\nabla \ln r = \frac{\mathbf{r}}{r^{2}}\r
onde \mathbf{r}=(x,y,z) e r=\|\mathbf{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. O conteúdo é cálculo vetorial: usamos a definição de gradiente e derivadas parciais de funções que dependem de r.

Passo 2

Escrevemos\r
\ln r=\ln\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\bigr)\r
e para cada componente do gradiente aplicamos\r
\frac{\partial}{\partial x}\ln r=\frac{1}{r}\,\frac{\partial r}{\partial x}.

Passo 3

Como \r r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, temos
\frac{\partial r}{\partial x} =\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot 2x =\frac{x}{r}.
De modo idêntico, \partial r/\partial y=y/r e \partial r/\partial z=z/r.

Passo 4

Substituindo em \partial(\ln r)/\partial x vem\r
\frac{\partial}{\partial x}\ln r =\frac{1}{r}\,\frac{x}{r} =\frac{x}{r^{2}},
e analogamente para y e z. Logo\r
\nabla \ln r =\Bigl(\frac{x}{r^{2}},\frac{y}{r^{2}},\frac{z}{r^{2}}\Bigr) =\frac{\mathbf{r}}{r^{2}}.

Resposta

A identidade está verificada, pois\r
\nabla \ln r = \frac{\mathbf{r}}{r^{2}}.

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