Sejam mathcal{A} e mathcal{B} duas matrizes 3 \times 3, sendo mathcal{B} invertível. Prove as afirmações abaixo:
\operatorname{det} \mathcal{B}^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} \mathcal{B}}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes \mathcal{A} e \mathcal{B} de ordem 3\times3 e nos diz que \mathcal{B} é invertível. O que se pede provar é a identidade
\operatorname{det}\mathcal{B}^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}\mathcal{B}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \mathcal{B} é invertível, portanto existe \mathcal{B}^{-1} tal que \mathcal{B}\,\mathcal{B}^{-1} = \mathcal{I}, onde \mathcal{I} é a matriz identidade 3\times3.
  • Queremos relacionar o determinante de \mathcal{B}^{-1} com o determinante de \mathcal{B}.

Passo 2

Idéia central da prova (sem ainda executar): usar a propriedade multiplicativa do determinante, isto é
\operatorname{det}(XY)=\operatorname{det}X\cdot\operatorname{det}Y
para quaisquer matrizes quadradas X e Y da mesma ordem, e o fato simples de que
\operatorname{det}\mathcal{I}=1.
Aplicando essas duas propriedades à igualdade \mathcal{B}\,\mathcal{B}^{-1}=\mathcal{I} deve-se obter a relação desejada. Antes de aplicar, preciso explicar e justificar por que podemos usar a propriedade multiplicativa e por que \operatorname{det}\mathcal{I}=1.

Passo 3

O que é o determinante e por que \operatorname{det}\mathcal{I}=1 (intuição geométrica e significado): para matrizes 3\times3 o determinante mede o fator de escala (com sinal) que a transformação linear representada pela matriz aplica a volumes no espaço \mathbb{R}^3. A matriz identidade \mathcal{I} transforma qualquer vetor em si mesmo, então envia o cubo unitário em \mathbb{R}^3 para o mesmo cubo unitário; o volume não muda, logo o fator de escala é 1. Por isso
\operatorname{det}\mathcal{I}=1.
Esse argumento é válido e normalmente aceito como razão para \operatorname{det}\mathcal{I}=1.

Passo 4

Justificativa da propriedade multiplicativa \operatorname{det}(XY)=\operatorname{det}X\cdot\operatorname{det}Y (explicação didática e um exemplo concreto):
  • Intuitivamente (geométrico): se X escala volumes por um fator \operatorname{det}X e Y escala volumes por \operatorname{det}Y, então aplicar Y e depois X escala volumes por \operatorname{det}X\cdot\operatorname{det}Y. Como a matriz produto XY é exatamente "aplicar Y e depois X", segue que \operatorname{det}(XY)=\operatorname{det}X\cdot\operatorname{det}Y.
  • Pequeno exemplo algébrico para ver concretamente (caso 2\times2, a generalização para 3\times3 ou n\times n segue a mesma linha algebraica, ou pode ser formalizada via a fórmula de Leibniz): sejam X=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}e&f\\\ g&h\end{pmatrix}.Então XY=\begin{pmatrix}ae+bg & af+bh\\\ ce+dg & cf+dh\end{pmatrix}.Calculando o determinante de XY: \operatorname{det}(XY)=(ae+bg)(cf+dh)-(af+bh)(ce+dg).Expandindo e recolhendo termos (fazer as multiplicações e cancelar termos semelhantes) chega-se exatamente a \operatorname{det}(XY)=(ad-bc)(eh-fg)=\operatorname{det}X\cdot\operatorname{det}Y.Esse cálculo mostra claramente como a multiplicatividade aparece ao expandir produtos. A prova completa para 3\times3 ou em geral usa a mesma ideia (ou a definição por soma sobre permutações — fórmula de Leibniz) e produz o mesmo resultado. Para o nosso objetivo é suficiente aceitar essa propriedade bem conhecida e justificada.

Passo 5

Aplicando as propriedades ao caso em questão: como \mathcal{B} é invertível sabemos que
\mathcal{B}\,\mathcal{B}^{-1}=\mathcal{I}.
Tomando determinante em ambos os lados e usando multiplicatividade do determinante:
\operatorname{det}(\mathcal{B}\,\mathcal{B}^{-1})=\operatorname{det}\mathcal{B}\cdot\operatorname{det}\mathcal{B}^{-1}.
O lado direito da igualdade anterior é \operatorname{det}\mathcal{I}, e já vimos que \operatorname{det}\mathcal{I}=1. Logo
\operatorname{det}\mathcal{B}\cdot\operatorname{det}\mathcal{B}^{-1}=1.

Passo 6

Resolver a equação para \operatorname{det}\mathcal{B}^{-1}. Como \mathcal{B} é invertível, necessariamente \operatorname{det}\mathcal{B}\neq0, portanto podemos dividir por \operatorname{det}\mathcal{B} e obter:
\operatorname{det}\mathcal{B}^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}\mathcal{B}}.
Pronto — esta é a identidade pedida. É um resultado muito útil: o determinante da inversa é o inverso do determinante.

Resposta

\operatorname{det}\mathcal{B}^{-1}=\dfrac{1}{\operatorname{det}\mathcal{B}}

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