Sejam
e
duas matrizes
, sendo
invertível. Prove as afirmações abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
e
de ordem
e nos diz que
é invertível. O que se pede provar é a identidade
Informações relevantes fornecidas:
-
é invertível, portanto existe tal que , onde é a matriz identidade . - Queremos relacionar o determinante de
com o determinante de .
Passo 2
Idéia central da prova (sem ainda executar): usar a propriedade multiplicativa do determinante, isto é
para quaisquer matrizes quadradas
e
da mesma ordem, e o fato simples de que
Aplicando essas duas propriedades à igualdade
deve-se obter a relação desejada. Antes de aplicar, preciso explicar e justificar por que podemos usar a propriedade multiplicativa e por que
.
Passo 3
O que é o determinante e por que
(intuição geométrica e significado): para matrizes
o determinante mede o fator de escala (com sinal) que a transformação linear representada pela matriz aplica a volumes no espaço
. A matriz identidade
transforma qualquer vetor em si mesmo, então envia o cubo unitário em
para o mesmo cubo unitário; o volume não muda, logo o fator de escala é
. Por isso
Esse argumento é válido e normalmente aceito como razão para
.
Passo 4
Justificativa da propriedade multiplicativa
(explicação didática e um exemplo concreto):
- Intuitivamente (geométrico): se
escala volumes por um fator e escala volumes por , então aplicar e depois escala volumes por . Como a matriz produto é exatamente "aplicar e depois ", segue que . - Pequeno exemplo algébrico para ver concretamente (caso
, a generalização para ou segue a mesma linha algebraica, ou pode ser formalizada via a fórmula de Leibniz): sejam Então Calculando o determinante de : Expandindo e recolhendo termos (fazer as multiplicações e cancelar termos semelhantes) chega-se exatamente a Esse cálculo mostra claramente como a multiplicatividade aparece ao expandir produtos. A prova completa para ou em geral usa a mesma ideia (ou a definição por soma sobre permutações — fórmula de Leibniz) e produz o mesmo resultado. Para o nosso objetivo é suficiente aceitar essa propriedade bem conhecida e justificada.
Passo 5
Aplicando as propriedades ao caso em questão: como
é invertível sabemos que
Tomando determinante em ambos os lados e usando multiplicatividade do determinante:
O lado direito da igualdade anterior é
, e já vimos que
. Logo
Passo 6
Resolver a equação para
. Como
é invertível, necessariamente
, portanto podemos dividir por
e obter:
Pronto — esta é a identidade pedida. É um resultado muito útil: o determinante da inversa é o inverso do determinante.