Sejam \mathcal{R}=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} uma base para um espaço vetorial V e \mathcal{S}=\left\{u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right\} um conjunto LI em V. Prove que o conjunto
\mathcal{T}=\left\{\left[u_{1}\right]_{\mathcal{R}},\left[u_{2}\right]_{\mathcal{R}}, \ldots,\left[u_{n}\right]_{\mathcal{R}}\right\}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \mathcal{R}=\{v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\} é uma base de um espaço vetorial V.
  • \mathcal{S}=\{u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\} é um conjunto linearmente independente (LI) em V.
  • Define-se o conjunto de vetores coordenados relativos a \mathcal{R}:
\mathcal{T}=\{\,[u_{1}]_{\mathcal{R}},\,[u_{2}]_{\mathcal{R}},\ldots,\,[u_{n}]_{\mathcal{R}}\,\}.
O que devemos provar: o conjunto \mathcal{T} é linearmente independente (em \mathbb{F}^{n}, onde \mathbb{F} é o corpo escalar).

Passo 2

Primeiro, entender claramente o que é [u]_{\mathcal{R}}. Como \mathcal{R} é base de V, para todo u\in V existem escalares únicos a_{1},\dots,a_{n} tais que
u = \sum_{j=1}^{n} a_{j} v_{j}.
Definição de coordenadas: o vetor coluna de coordenadas de u relativamente à base \mathcal{R} é
[u]_{\mathcal{R}} = \begin{pmatrix} a_{1} \\\ a_{2} \\\ \vdots \\\ a_{n} \end{pmatrix}\in\mathbb{F}^{n}.
Comentário didático: a unicidade dos a_{j} (que vem do fato de \mathcal{R} ser base) garante que [u]_{\mathcal{R}} está bem definido — não há ambiguidade nos coeficientes.

Passo 3

Defina a aplicação de coordenadas
C : V \longrightarrow \mathbb{F}^{n},\qquad C(u) = [u]_{\mathcal{R}}.
Vou mostrar que C é uma transformação linear. Tome x,y\in V e \alpha,\beta\in\mathbb{F}. Escrevendo as representações
x=\sum_{j=1}^{n} b_{j} v_{j},\qquad y=\sum_{j=1}^{n} c_{j} v_{j},
temos
\alpha x + \beta y = \sum_{j=1}^{n} (\alpha b_{j} + \beta c_{j}) v_{j}.
Pelo modo de formar coordenadas,
C(\alpha x + \beta y) = \begin{pmatrix} \alpha b_{1}+\beta c_{1} \\\ \vdots \\\ \alpha b_{n}+\beta c_{n} \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} b_{1} \\\ \vdots \\\ b_{n} \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} c_{1} \\\ \vdots \\\ c_{n} \end{pmatrix} = \alpha C(x) + \beta C(y).
Logo, C é linear.

Passo 4

Mostro que C é injetora. Suponha C(u)=0 (vetor nulo em \mathbb{F}^{n}). Isso significa que, nas coordenadas, todos os coeficientes são zero, ou seja, se
u=\sum_{j=1}^{n} a_{j} v_{j},
então C(u)=0 implica a_{1}=\cdots=a_{n}=0. Portanto u=\sum_{j=1}^{n}0\cdot v_{j}=0. Assim o núcleo de C é trivial \{0\}, o que equivale a dizer que C é injetora.
Didática extra: injetividade da aplicação de coordenadas vem do fato essencial de que a base dá uma representação única de cada vetor.

Passo 5

Fato útil (e simples de provar): se T:V\to W é uma transformação linear injetora e \{x_{1},\dots,x_{m}\}\subset V é linearmente independente, então \{T(x_{1}),\dots,T(x_{m})\} é linearmente independente em W.
Prova curta desse fato: suponha existirem escalares \lambda_{1},\dots,\lambda_{m} tais que
\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} T(x_{i}) = 0.
Pela linearidade,
T\Big(\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} x_{i}\Big) = 0.
Como T é injetora, segue \sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} x_{i} = 0. Como os x_{i} são LI, todos os \lambda_{i}=0. Portanto as imagens são LI.

Passo 6

Aplicando o fato do Passo 5 à transformação C e ao conjunto \mathcal{S}=\{u_{1},\dots,u_{n}\} (que é LI por hipótese), obtemos que
\{C(u_{1}),\dots,C(u_{n})\}=\{\,[u_{1}]_{\mathcal{R}},\dots,[u_{n}]_{\mathcal{R}}\,\}=\mathcal{T}
é linearmente independente em \mathbb{F}^{n}.

Resposta

\mathcal{T} é linearmente independente.

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