Faça o que se pede em cada item:
Determine os vetores u, v \in \mathbb{R}^{4} sabendo que as coordenadas de u são todas iguais, a última coordenada de v é igual a 3 e u+v=(1,2,3,4).

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei estas informações do enunciado):
    • u e v são vetores em \mathbb{R}^{4}.
    • As coordenadas de u são todas iguais.
    • A última coordenada de v é igual a 3.
    • u+v=(1,2,3,4).
  • O que se pede:
    • Determinar os vetores u e v que satisfazem essas condições.

Passo 2

Vamos representar as incógnitas de forma explícita (isso facilita resolver).
  • Como todas as coordenadas de u são iguais, escrevo
u=(\alpha,\alpha,\alpha,\alpha),
onde \alpha é um número real desconhecido.
  • Como a última coordenada de v é 3, escrevo
v=(x_1,x_2,x_3,3),
onde x_1,x_2,x_3 são números reais desconhecidos.

Passo 3

Escrevo a equação vetorial u+v=(1,2,3,4) componente a componente (soma de vetores em \mathbb{R}^4 é feita coordenada a coordenada):
\alpha + x_1 = 1,
\alpha + x_2 = 2,
\alpha + x_3 = 3,
\alpha + 3 = 4.
Cada equação corresponde à soma das respectivas coordenadas dos vetores.

Passo 4

Começo resolvendo a equação mais simples: a última.
\alpha + 3 = 4.
Subtraindo 3 de ambos os lados obtemos
\alpha = 4-3 = 1.
Então já sabemos \alpha=1.

Passo 5

Substituo \alpha=1 nas três primeiras equações para achar x_1,x_2,x_3.
  • Da primeira:
1 + x_1 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 1-1 = 0.
  • Da segunda:
1 + x_2 = 2 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 2-1 = 1.
  • Da terceira:
1 + x_3 = 3 \quad\Rightarrow\quad x_3 = 3-1 = 2.
Ficou então \alpha=1, x_1=0, x_2=1, x_3=2 e a última coordenada de v já era 3.

Passo 6

(Verificação rápida dos componentes) Somando componente a componente com os valores encontrados:
1+0=1,\qquad 1+1=2,\qquad 1+2=3,\qquad 1+3=4,
o que coincide com (1,2,3,4). Portanto os valores encontrados são consistentes.

Resposta

u=(1,1,1,1)
v=(0,1,2,3)

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