Sejam \mathrm{d}, \mathrm{Bd}^{2} e \mathrm{Cd}^{3} respectivamente uma dimensão característica da partícula, da área superficial e do seu volume.
a) Estabelecer a relação entre os fatores de forma B, C e a esfericidade \varphi.
b) No caso particular em que d é o diâmetro da esfera de igual volume que a partícula d_{p}, mostrar que
\frac{B}{C}=\frac{6}{\varphi}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Estabelecer uma relação entre os fatores de forma B, C e a esfericidade \varphi.
  • (b) No caso particular em que d é o diâmetro da esfera de igual volume que a partícula (denotado por d_{p}), mostrar que
\frac{B}{C}=\frac{6}{\varphi}.
Informações fornecidas e hipóteses que usaremos (retirei exatamente do enunciado):
  • A dimensão característica da partícula é d.
  • A área superficial da partícula é dada por A_p = B\,d^{2}.
  • O volume da partícula é dado por V_p = C\,d^{3}.
  • A esfericidade \varphi é definida como a razão entre a área superficial da esfera de mesmo volume e a área superficial da partícula; isto é,
\varphi=\frac{A_{\text{esfera de mesmo volume}}}{A_p}.
Não vou ainda resolver nada aqui; apenas enumerei o que o problema pede e os dados que podemos usar.

Passo 2

Vou escrever fórmulas conhecidas da esfera em função do seu diâmetro, porque vamos comparar a partícula com uma esfera de volume igual.
Para uma esfera de diâmetro d_s (raio r=d_s/2):
  • Área superficial da esfera:
A_s = 4\pi r^{2} = 4\pi\left(\frac{d_s}{2}\right)^{2} = \pi d_s^{2}.
  • Volume da esfera:
V_s = \frac{4}{3}\pi r^{3} = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{d_s}{2}\right)^{3} = \frac{\pi}{6} d_s^{3}.
Estas duas fórmulas são fundamentais: a área escala com d_s^{2} e o volume com d_s^{3}.

Passo 3

Agora imponho que a esfera tem o mesmo volume que a partícula. Ou seja,
V_s = V_p.
Substituo as expressões:
\frac{\pi}{6}\,d_s^{3} = C\,d^{3}.
Dessa igualdade posso isolar a relação entre d_s e d:
d_s^{3} = \frac{6C}{\pi}\,d^{3} \qquad\Rightarrow\qquad \left(\frac{d_s}{d}\right)^{3} = \frac{6C}{\pi}.
Tomando a raiz cúbica:
\frac{d_s}{d} = \left(\frac{6C}{\pi}\right)^{1/3}.
Expliquei: esse passo transforma a condição “mesmo volume” numa razão entre os diâmetros.

Passo 4

Use a definição de esfericidade \varphi. Pela definição:
\varphi=\frac{A_s}{A_p}.
Substituo A_s=\pi d_s^{2} (do Passo 2) e A_p=B d^{2} (dado do enunciado):
\varphi = \frac{\pi d_s^{2}}{B d^{2}} = \frac{\pi}{B}\left(\frac{d_s}{d}\right)^{2}.
Agora uso a relação \dfrac{d_s}{d}=\left(\dfrac{6C}{\pi}\right)^{1/3} obtida no Passo 3:
\varphi = \frac{\pi}{B}\left(\left(\frac{6C}{\pi}\right)^{1/3}\right)^{2} = \frac{\pi}{B}\left(\frac{6C}{\pi}\right)^{2/3}.

Passo 5

Simplifico a expressão do Passo 4 para deixar a relação mais clara. Mantendo a expressão:
\varphi = \frac{\pi}{B}\left(\frac{6C}{\pi}\right)^{2/3}.
Isso já é uma relação direta entre B, C e \varphi. Se preferir deixar B isolado:
B = \pi\left(\frac{6C}{\pi}\right)^{2/3}\frac{1}{\varphi}.
Ambas as formas são equivalentes; a primeira é mais direta como expressão de \varphi em função de B e C.

Passo 6

Agora faço o caso particular pedido no item (b): tomar d igual ao diâmetro da esfera de igual volume, ou seja d=d_{p}=d_s. Nesse caso \dfrac{d_s}{d}=1. Volto à expressão simples da esfericidade antes da substituição de d_s/d:
\varphi = \frac{\pi}{B}\left(\frac{d_s}{d}\right)^{2}.
Com \dfrac{d_s}{d}=1 temos
\varphi = \frac{\pi}{B}.
Assim isolo B:
B = \frac{\pi}{\varphi}.
Além disso, se d é o diâmetro da esfera de igual volume, a igualdade de volumes dá, para este caso,
C\,d^{3} = V_p = V_s = \frac{\pi}{6}d^{3},
logo
C=\frac{\pi}{6}.
Agora calculo a razão B/C:
\frac{B}{C} = \frac{\pi/\varphi}{\pi/6} = \frac{1}{\varphi}\cdot\frac{\pi}{\pi/6} = \frac{1}{\varphi}\cdot 6 = \frac{6}{\varphi}.
Isso é exatamente o que se pedia mostrar.

Resposta

\displaystyle \varphi=\frac{\pi}{B}\left(\frac{6C}{\pi}\right)^{2/3}
\displaystyle \frac{B}{C}=\frac{6}{\varphi}

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