Sejam
e
respectivamente uma dimensão característica da partícula, da área superficial e do seu volume.
a) Estabelecer a relação entre os fatores de forma B, C e a esfericidade
.
b) No caso particular em que d é o diâmetro da esfera de igual volume que a partícula
, mostrar que
a) Estabelecer a relação entre os fatores de forma B, C e a esfericidade
b) No caso particular em que d é o diâmetro da esfera de igual volume que a partícula
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Estabelecer uma relação entre os fatores de forma
, e a esfericidade . - (b) No caso particular em que
é o diâmetro da esfera de igual volume que a partícula (denotado por ), mostrar que
Informações fornecidas e hipóteses que usaremos (retirei exatamente do enunciado):
- A dimensão característica da partícula é
. - A área superficial da partícula é dada por
. - O volume da partícula é dado por
. - A esfericidade
é definida como a razão entre a área superficial da esfera de mesmo volume e a área superficial da partícula; isto é,
Não vou ainda resolver nada aqui; apenas enumerei o que o problema pede e os dados que podemos usar.
Passo 2
Vou escrever fórmulas conhecidas da esfera em função do seu diâmetro, porque vamos comparar a partícula com uma esfera de volume igual.
Para uma esfera de diâmetro
(raio
):
- Área superficial da esfera:
- Volume da esfera:
Estas duas fórmulas são fundamentais: a área escala com
e o volume com
.
Passo 3
Agora imponho que a esfera tem o mesmo volume que a partícula. Ou seja,
Substituo as expressões:
Dessa igualdade posso isolar a relação entre
e
:
Tomando a raiz cúbica:
Expliquei: esse passo transforma a condição “mesmo volume” numa razão entre os diâmetros.
Passo 4
Use a definição de esfericidade
. Pela definição:
Substituo
(do Passo 2) e
(dado do enunciado):
Agora uso a relação
obtida no Passo 3:
Passo 5
Simplifico a expressão do Passo 4 para deixar a relação mais clara. Mantendo a expressão:
Isso já é uma relação direta entre
,
e
. Se preferir deixar
isolado:
Ambas as formas são equivalentes; a primeira é mais direta como expressão de
em função de
e
.
Passo 6
Agora faço o caso particular pedido no item (b): tomar
igual ao diâmetro da esfera de igual volume, ou seja
. Nesse caso
. Volto à expressão simples da esfericidade antes da substituição de
:
Com
temos
Assim isolo
:
Além disso, se
é o diâmetro da esfera de igual volume, a igualdade de volumes dá, para este caso,
logo
Agora calculo a razão
:
Isso é exatamente o que se pedia mostrar.