Sejam f, g, h \in \mathrm{~S}_{5} dados como:
f=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2\end{array}\right) ; g=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 4 & 5 & 1 & 4 & 3\end{array}\right) ; h=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 1 & 2 & 4 & 5 & 3\end{array}\right)
Encontre f^{-1}, g^{-1}, h^{-1},

Passo 1

O enunciado dá três permutações em \mathrm{S}_{5} (escritas em notação de duas linhas) e pede os inversos. Vou listar exatamente o que foi dado e o que se pede (peguei estes dados do enunciado):
  • Dados: f=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\[4pt] 3 & 4 & 5 & 1 & 2\end{pmatrix}, \qquad g=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\[4pt] 4 & 5 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}, \qquad h=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\[4pt] 1 & 2 & 4 & 5 & 3\end{pmatrix}.
  • Pedido: encontrar f^{-1},\;g^{-1},\;h^{-1}.]

Passo 2

O que é o inverso de uma permutação? Vou explicar com calma.
  • Definição: para uma permutação \sigma em S_{5}, seu inverso \sigma^{-1} é a permutação tal que a composição \sigma\circ\sigma^{-1}=\sigma^{-1}\circ\sigma=\mathrm{id}, onde \mathrm{id} é a identidade que envia cada elemento em si.
  • Em palavras simples: se \sigma(a)=b, então \sigma^{-1}(b)=a. Ou seja, o inverso “desfaz” o efeito da permutação original.
Duas maneiras práticas de achar o inverso:
  1. Método da duas-linhas: trocar linhas (colocar a segunda como primeira) e reorganizar as colunas para que a primeira linha fique em ordem 1,2,3,4,5. A segunda linha resultante é exatamente as imagens de \sigma^{-1}.
  2. Método dos ciclos: escrever a permutação em notação cíclica; o inverso é obtido revertendo cada ciclo (lendo-o ao contrário).
Vou aplicar preferencialmente o método da duas-linhas (é direto, sistemático e fácil de fazer “na prova”), e quando for útil também mostrarei a notação de ciclos para reforçar a intuição.

Passo 3

Preparando o procedimento passo a passo (exemplo genérico com um elemento): se \sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\\ a&b&c&d&e\end{pmatrix}, então ao trocar linhas obtemos \begin{pmatrix}a&b&c&d&e\\\ 1&2&3&4&5\end{pmatrix}. Depois reordenamos as colunas para que a primeira linha vire 1,2,3,4,5; a segunda linha atualizada dará \sigma^{-1}(1),\sigma^{-1}(2),\dots,\sigma^{-1}(5).
Vou aplicar isso agora a cada permutação dada, uma por uma, explicando cada escolha e detalhe.

Passo 4

Primeiro escrevo explicitamente a regra de f (peguei estes números da linha do enunciado para f):
f(1)=3,\quad f(2)=4,\quad f(3)=5,\quad f(4)=1,\quad f(5)=2.
Método duas-linhas:
  • Troco as linhas da notação de f: \begin{pmatrix}3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\[4pt] 1 & 2 & 3 & 4 & 5\end{pmatrix}.
  • Agora reorganizo as colunas para que a primeira linha fique 1,2,3,4,5. Vou buscar onde aparece cada número 1,2,3,4,5 na primeira linha e colocar as colunas nessa ordem:
    • O 1 aparece na quarta coluna; nessa coluna a segunda linha vale 4. Então \,f^{-1}(1)=4.
    • O 2 aparece na quinta coluna; nessa coluna a segunda linha vale 5. Então \,f^{-1}(2)=5.
    • O 3 aparece na primeira coluna; segunda linha vale 1. Então \,f^{-1}(3)=1.
    • O 4 aparece na segunda coluna; segunda linha vale 2. Então \,f^{-1}(4)=2.
    • O 5 aparece na terceira coluna; segunda linha vale 3. Então \,f^{-1}(5)=3.
  • Assim obtemos a notação de duas linhas para f^{-1}: f^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\[4pt] 4 & 5 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}.
Verificação rápida (intuição com ciclos): f é o ciclo (1\\\ 3\\\ 5\\\ 2\\\ 4). O inverso desse ciclo é lido ao contrário: (1\\\ 4\\\ 2\\\ 5\\\ 3). Convertendo para duas-linhas coincide com o resultado acima (mesmas imagens).]

Passo 5

Agora olho para g (peguei os números do enunciado):
g=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\[4pt] 4 & 5 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}.
Vou inspeccionar se isso é uma permutação válida (ou seja, uma bijeção de \{1,2,3,4,5\} sobre si mesma).
  • As imagens listadas são \{4,5,1,4,3\}.
  • Note que o valor 4 aparece duas vezes e o valor 2 não aparece em nenhuma imagem. Isso significa que a aplicação descrita pela segunda linha não é injetora nem sobrejetora — não é uma bijeção.
  • Portanto, como está escrito, g NÃO é uma permutação de \{1,2,3,4,5\} e, consequentemente, não pertence a \mathrm{S}_{5}. Sem bijetividade, não existe g^{-1}.
Conclusão sobre g: com os dados fornecidos não há como construir g^{-1} porque os valores dados para g não descrevem uma permutação (há repetição de imagem e falta de algum elemento na imagem). Se o enunciado pretendia outra segunda linha para g (por exemplo sem repetição), seria necessário corrigir esse dado; como não posso pedir correção, fico obrigado a declarar que g^{-1} não existe dadas as informações fornecidas.]

Passo 6

Agora h (peguei os números do enunciado):
h=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\[4pt] 1 & 2 & 4 & 5 & 3\end{pmatrix}.
Escrevo a regra explicitamente:
h(1)=1,\quad h(2)=2,\quad h(3)=4,\quad h(4)=5,\quad h(5)=3.
Método duas-linhas: troco as linhas e depois reordeno para ter 1,2,3,4,5 na primeira linha.
  • Troca de linhas: \begin{pmatrix}1 & 2 & 4 & 5 & 3 \\[4pt] 1 & 2 & 3 & 4 & 5\end{pmatrix}.
  • Reordenando para que a primeira linha fique 1,2,3,4,5:
    • O 1 está na primeira coluna → segunda linha é 1, logo h^{-1}(1)=1.
    • O 2 está na segunda coluna → segunda linha é 2, logo h^{-1}(2)=2.
    • O 3 está na quinta coluna → segunda linha é 5, logo h^{-1}(3)=5.
    • O 4 está na terceira coluna → segunda linha é 3, logo h^{-1}(4)=3.
    • O 5 está na quarta coluna → segunda linha é 4, logo h^{-1}(5)=4.
  • Assim: h^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\[4pt] 1 & 2 & 5 & 3 & 4\end{pmatrix}.
Verificação com ciclos: h tem a decomposição em ciclos (3\\\ 4\\\ 5) (e 1 e 2 são fixos). O inverso do ciclo (3\\\ 4\\\ 5) é (3\\\ 5\\\ 4), que corresponde exatamente ao h^{-1} escrito acima.]

Passo 7

  • Checagem rápida: para f e h pode-se testar que \sigma(\sigma^{-1}(i))=i para alguns i; por exemplo, para f: f(f^{-1}(1))=f(4)=1 confirma que está certo.
  • Dica prática para prova: sempre cheque se a segunda linha contém todos os números 1 a 5 sem repetição — se houver repetição ou ausência, o dado não é uma permutação e então não existe inverso. Para achar inverso rapidamente na prova, usar o procedimento de trocar linhas e ordenar a primeira linha; é mecânico e rápido.

Resposta

f^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\[4pt] 4 & 5 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}
g^{-1}\text{ não existe com os dados fornecidos (a segunda linha de }g\text{ não descreve uma bijeção)}ããçã
h^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\[4pt] 1 & 2 & 5 & 3 & 4\end{pmatrix}]

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