Sejam f, g, h \in \mathrm{~S}_{5} dados como:
f=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2\end{array}\right) ; g=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 4 & 5 & 1 & 4 & 3\end{array}\right) ; h=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 1 & 2 & 4 & 5 & 3\end{array}\right)
Determine f \circ h^{-1};

Passo 1

O enunciado pede para determinar f\circ h^{-1}, onde foram dadas as permutações em \mathrm{S}_5:
f=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2\end{pmatrix},\qquad g=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 4 & 5 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix},\qquad h=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 1 & 2 & 4 & 5 & 3\end{pmatrix}.
Informações relevantes extraídas:
  • Cada permutação está em notação de duas linhas: a primeira linha são os elementos de domínio \{1,2,3,4,5\} e a segunda linha são suas imagens.
  • A operação pedida é a composição f\circ h^{-1}, ou seja, aplicar primeiro h^{-1} e depois f.
    A resolução começa agora calculando h^{-1} e em seguida a composição.

Passo 2

Entendendo e calculando h^{-1}.
Breve explicação didática: a notação
h=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 1 & 2 & 4 & 5 & 3\end{pmatrix}
significa que h(1)=1, h(2)=2, h(3)=4, h(4)=5, h(5)=3. A inversa h^{-1} é a função que desfaz h: para cada imagem y=h(x) temos h^{-1}(y)=x. Para obter h^{-1} basta trocar linhas e reorganizar para listar as imagens de 1,2,3,4,5 na ordem natural.
Usando h dado:
  • Como h(1)=1, então h^{-1}(1)=1.
  • Como h(2)=2, então h^{-1}(2)=2.
  • Como h(3)=4, então h^{-1}(4)=3.
  • Como h(4)=5, então h^{-1}(5)=4.
  • Como h(5)=3, então h^{-1}(3)=5.
Organizando os valores de h^{-1} na ordem 1,2,3,4,5 (domínio padrão):
h^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 1 & 2 & 5 & 3 & 4\end{pmatrix}.
Confere: isto significa h^{-1}(1)=1, h^{-1}(2)=2, h^{-1}(3)=5, h^{-1}(4)=3, h^{-1}(5)=4, que corresponde ao que deduzimos acima.

Passo 3

Explicando a composição e calculando f\circ h^{-1} elemento a elemento.
Conceito: (f\circ h^{-1})(x)=f\big(h^{-1}(x)\big). Vou calcular para cada x\in\{1,2,3,4,5\}, lembrando que
f=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2\end{pmatrix}
ou seja f(1)=3, f(2)=4, f(3)=5, f(4)=1, f(5)=2.
Agora os cálculos, passo a passo:
  • Para x=1: h^{-1}(1)=1 e f(1)=3. Logo (f\circ h^{-1})(1)=3.
  • Para x=2: h^{-1}(2)=2 e f(2)=4. Logo (f\circ h^{-1})(2)=4.
  • Para x=3: h^{-1}(3)=5 e f(5)=2. Logo (f\circ h^{-1})(3)=2.
  • Para x=4: h^{-1}(4)=3 e f(3)=5. Logo (f\circ h^{-1})(4)=5.
  • Para x=5: h^{-1}(5)=4 e f(4)=1. Logo (f\circ h^{-1})(5)=1.
Reunindo os resultados na notação de duas linhas:
f\circ h^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 3 & 4 & 2 & 5 & 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Uma forma alternativa e prática (útil na prova): converter o resultado para notação cíclica para ver a estrutura da permutação. Seguindo as imagens encontradas:
1\mapsto3,\quad 3\mapsto2,\quad 2\mapsto4,\quad 4\mapsto5,\quad 5\mapsto1,
portanto é o ciclo de comprimento 5
(f\circ h^{-1})=(1\\\ 3\\\ 2\\\ 4\\\ 5).

Resposta

\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 3 & 4 & 2 & 5 & 1\end{pmatrix}

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