Sejam as matrizes
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ 4 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lr} 2 & -1 \end{array}\right] .
Calcule, se for possível. No caso de não ser possível, explique o motivo.
B C

Passo 1

O enunciado dá as matrizes (copiadas do problema):
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right],\qquad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right],\qquad \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ 4 \end{array}\right],\qquad \boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lr} 2 & -1 \end{array}\right].
A pergunta que precisamos responder é: calcular, se for possível, o produto \boldsymbol{B}\boldsymbol{C}.

Passo 2

Regra de compatibilidade e fórmula do produto de matrizes (explicando passo a passo).
Se uma matriz X tem dimensão m\times n (isto é, m linhas e n colunas) e uma matriz Y tem dimensão n\times p, então o produto XY está definido e tem dimensão m\times p.
A fórmula para o elemento da linha i e coluna j do produto é
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Aqui:
  • X_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de X;
  • Y_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de Y;
  • somamos sobre k porque cada entrada do produto é o “produto escalar” entre a linha i de X e a coluna j de Y.
Isso significa, na prática, que para multiplicar uma linha pela coluna fazemos produto termo a termo e somamos os resultados.

Passo 3

Identificar dimensões de \boldsymbol{B} e \boldsymbol{C}.
Observando as matrizes dadas:
  • \boldsymbol{B} tem 2 linhas e 3 colunas, então \boldsymbol{B} é 2\times3.
  • \boldsymbol{C} tem 3 linhas e 1 coluna, então \boldsymbol{C} é 3\times1.
Como o número de colunas de \boldsymbol{B} (que é 3) é igual ao número de linhas de \boldsymbol{C} (também 3), o produto \boldsymbol{B}\boldsymbol{C} está definido. O produto terá dimensão 2\times1 (duas linhas, uma coluna).

Passo 4

Calcular a primeira entrada (linha 1 do produto, única coluna).
A primeira linha de \boldsymbol{B} é (-2,\;0,\;1) e a coluna de \boldsymbol{C} é \begin{bmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]4\end{bmatrix}.
Aplicando a fórmula (produto termo a termo e soma):
(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C})_{1} = (-2)\cdot(-1) + 0\cdot 2 + 1\cdot 4 = 2 + 0 + 4 = 6.]

Passo 5

Calcular a segunda entrada (linha 2 do produto, única coluna).
A segunda linha de \boldsymbol{B} é (3,\;0,\;1). Novamente produto termo a termo com a coluna de \boldsymbol{C}:
(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C})_{2} = 3\cdot(-1) + 0\cdot 2 + 1\cdot 4 = -3 + 0 + 4 = 1.

Passo 6

Montar o vetor resultado juntando as entradas calculadas.
O produto \boldsymbol{B}\boldsymbol{C} é o vetor coluna com as duas entradas encontradas:
\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}6\\[4pt]1\end{bmatrix}.]

Resposta

\begin{bmatrix}6\\[4pt]1\end{bmatrix}]

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