Verifique se a transformação L(x, y, z)=(x+y, 0,2 x+3) é linear.

Passo 1

O enunciado dá a transformação L:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
L(x,y,z) = (x+y,\,0,\,2x+3).
O que se pede: verificar se L é uma transformação linear (ou seja, responder “é linear?” ou “não é linear?”).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A transformação toma um vetor (x,y,z) em \mathbb{R}^3.
  • As componentes de saída são: primeira componente x+y, segunda componente 0 (sempre), terceira componente 2x+3.
  • Note que há um termo constante +3 na terceira componente.

Passo 2

Relembrando a definição (com explicação passo a passo): uma transformação L:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R}, valem duas propriedades:
  1. aditividade: L(u+v)=L(u)+L(v);
  2. homogeneidade: L(\lambda u)=\lambda\,L(u).
Uma condição útil e imediata que decorre dessas propriedades é que o vetor nulo deve ser levado ao vetor nulo:
L(0,0,0)=0_{ \mathbb{R}^3 }.
Explicando por que isso é necessário: tomando \lambda=0 em homogeneidade,
L(0\cdot u)=0\cdot L(u)\quad\Rightarrow\quad L(0,0,0)=0_{ \mathbb{R}^3 }.
Se uma transformação não satisfaz L(0)=0, então alguma das duas propriedades (ou as duas) falham, logo a transformação não é linear. Esse é um teste rápido e suficiente para refutar linearidade.

Passo 3

Vamos aplicar o teste rápido: calcular L(0,0,0) passo a passo, usando a fórmula dada no enunciado.
  • Primeira componente: 0+0=0.
  • Segunda componente: 0 (a definição já dá 0 independentemente de x,y,z).
  • Terceira componente: 2\cdot 0 + 3 = 3.
Portanto
L(0,0,0) = (0,\,0,\,3).

Passo 4

Comparando com o vetor nulo 0_{\mathbb{R}^3}=(0,0,0), vemos que
L(0,0,0)=(0,0,3)\neq(0,0,0).
Como explicado no Passo 2, esse fato já é suficiente para concluir que L não satisfaz a propriedade necessária L(0)=0 de toda transformação linear. Logo, L não é linear.
Para reforçar a intuição: também dá para mostrar diretamente a falha da homogeneidade com um exemplo numérico. Tome v=(1,0,0). Então
L(v)=L(1,0,0)=(1,\,0,\,2\cdot 1+3)=(1,0,5).
Mas
L(2v)=L(2,0,0)=(2,\,0,\,2\cdot 2+3)=(2,0,7),
enquanto
2\,L(v)=2\cdot(1,0,5)=(2,0,10).
Como L(2v)\neq 2L(v), a homogeneidade falha explicitamente. Mesmo sem esse exemplo, o teste com L(0) já era suficiente.

Resposta

Não é linear.

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