Verifique se a transformação
é linear.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
O que se pede: verificar se
é uma transformação linear (ou seja, responder “é linear?” ou “não é linear?”).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A transformação toma um vetor
em . - As componentes de saída são: primeira componente
, segunda componente (sempre), terceira componente . - Note que há um termo constante
na terceira componente.
Passo 2
Relembrando a definição (com explicação passo a passo): uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem duas propriedades:
- aditividade:
; - homogeneidade:
.
Uma condição útil e imediata que decorre dessas propriedades é que o vetor nulo deve ser levado ao vetor nulo:
Explicando por que isso é necessário: tomando
em homogeneidade,
Se uma transformação não satisfaz
, então alguma das duas propriedades (ou as duas) falham, logo a transformação não é linear. Esse é um teste rápido e suficiente para refutar linearidade.
Passo 3
Vamos aplicar o teste rápido: calcular
passo a passo, usando a fórmula dada no enunciado.
- Primeira componente:
. - Segunda componente:
(a definição já dá independentemente de ). - Terceira componente:
.
Portanto
Passo 4
Comparando com o vetor nulo
, vemos que
Como explicado no Passo 2, esse fato já é suficiente para concluir que
não satisfaz a propriedade necessária
de toda transformação linear. Logo,
não é linear.
Para reforçar a intuição: também dá para mostrar diretamente a falha da homogeneidade com um exemplo numérico. Tome
. Então
Mas
enquanto
Como
, a homogeneidade falha explicitamente. Mesmo sem esse exemplo, o teste com
já era suficiente.
Resposta
Não é linear.