Sejam as matrizes A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 / 2 & -1 \\\\ -2 & 5 & 2 & -3 \\\\ 1 & -1 & 2 & 1 \\\\ -5 & 1 & 3 / 2 & 0\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & -1 / 2 & 1 \\\\ 1 & -2 & -2 & 3 \\\\ -1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 5 & -1 & 1 / 2 & 5\end{array}\right].
Determine o elemento c_{23} da matriz D=A B.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes A e B e pede o elemento c_{23} da matriz D=AB, ou seja, o elemento da 2ª linha e 3ª coluna de D.
Peguei da matriz A a 2ª linha:
\text{linha }2\text{ de }A=\begin{bmatrix}-2 & 5 & 2 & -3\end{bmatrix}.
Peguei da matriz B a 3ª coluna:
\text{coluna }3\text{ de }B=\begin{bmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-2\\[4pt]1\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{bmatrix}.]

Passo 2

Regra de multiplicação de matrizes (fórmula para elementos):
Para D=AB vale
c_{ij}=\sum_{k=1}^{4} a_{ik}\,b_{kj},
onde c_{ij} é o elemento da linha i e coluna j de D, a_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de A e b_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de B. Em palavras: cada elemento c_{ij} é o produto escalar da linha i de A com a coluna j de B.

Passo 3

Aplicando a fórmula para i=2 e j=3:
c_{23}=a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33}+a_{24}b_{43}.
Substituindo os valores que peguei das matrizes:
c_{23}=(-2)\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)+5\cdot(-2)+2\cdot 1+(-3)\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right).

Passo 4

Calculemos termo a termo:
(-2)\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=1, \qquad 5\cdot(-2)=-10, \qquad 2\cdot 1=2, \qquad (-3)\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Somando os termos (usando frações para ficar exato):
c_{23}=1-10+2-\tfrac{3}{2}.
Colocando tudo sobre o denominador 2:
c_{23}=\dfrac{2}{2}-\dfrac{20}{2}+\dfrac{4}{2}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{2-20+4-3}{2}=\dfrac{-17}{2}.

Resposta

-\dfrac{17}{2}

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