Resolva e classifique os sistemas, em seguida verifique se a solução encontrada está correta:
\left\{\begin{array}{l}3 x+2 y-5 z=8 \\\\ 2 x-4 y-2 z=-4 \\\ x-2 y-3 z=-4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com três equações e três incógnitas e pede: resolver o sistema, classificá-lo (quantas soluções existem) e verificar a solução encontrada. As equações dadas são:
\begin{cases} 3x+2y-5z=8,\\[4pt] 2x-4y-2z=-4,\\[4pt] x-2y-3z=-4. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • As três equações acima (fornecidas literalmente).
  • O objetivo é: (1) encontrar os valores de (x,y,z) que satisfazem todas as equações simultaneamente; (2) dizer se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma; (3) checar que a solução encontrada de fato satisfaz as três equações.]

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática e intuitiva).
  • O enunciado não pede um método específico. Para sistemas 3×3 a maneira mais direta e confiável é a eliminação de Gauss (eliminação por operações elementares nas linhas) porque dá a solução sem exigir fórmulas longas e é fácil de executar à mão.
  • Outra ferramenta rápida para classificar o sistema é calcular o determinante da matriz dos coeficientes: se o determinante for diferente de zero, o sistema tem exatamente uma solução (chamamos de sistema compatível determinado). Vou primeiro calcular o determinante para ter a classificação rápida e depois fazer a eliminação passo a passo para encontrar a solução (assim você aprende e confere).
  • Lembrete sobre determinante para 3×3: para a matriz
A=\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix}
o determinante é
\det(A)=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Se \det(A)\neq0, então existe exatamente uma solução.]

Passo 3

Calcular o determinante da matriz dos coeficientes.
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -5\\[4pt] 2 & -4 & -2\\[4pt] 1 & -2 & -3 \end{pmatrix}.
  • Aplicando a fórmula do determinante para 3×3, com a=3,\\ b=2,\\ c=-5,\\ d=2,\\ e=-4,\\ f=-2,\\ g=1,\\ h=-2,\\ i=-3:
\det(A)=3\big((-4)(-3)-(-2)(-2)\big)-2\big(2(-3)-(-2)\cdot1\big)+(-5)\big(2(-2)-(-4)\cdot1\big).
  • Calcule cada termo:
(-4)(-3)-(-2)(-2)=12-4=8,
2(-3)-(-2)\cdot1=-6+2=-4,
2(-2)-(-4)\cdot1=-4+4=0.
  • Então
\det(A)=3\cdot8-2\cdot(-4)+(-5)\cdot0=24+8+0=32.
  • Conclusão: \det(A)=32\neq0. Portanto o sistema tem exatamente uma solução (sistema compatível determinado). Agora vamos encontrar essa solução por eliminação (passo a passo), e então verificar.]

Passo 4

Montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares (introdução às operações).
  • A matriz aumentada [A|b] é
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -5 & 8\\[4pt] 2 & -4 & -2 & -4\\[4pt] 1 & -2 & -3 & -4 \end{array}\right].
Operações elementares permitidas (recordando didaticamente):
  1. Permutar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número não nulo.
  3. Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    Essas operações não mudam o conjunto de soluções; usamos para triangular a matriz (transformar em forma escalonada) e depois fazer substituição regressiva.]

Passo 5

Troca de linhas para ter pivot simples (evitar frações desnecessárias).
  • Observação: a terceira linha tem um 1 na posição inicial, o que facilita. Troco a linha 1 pela linha 3:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -3 & -4\\[4pt] 2 & -4 & -2 & -4\\[4pt] 3 & 2 & -5 & 8 \end{array}\right].
(Isto é apenas permutar linhas; solução preservada.)]

Passo 6

Eliminação na coluna 1 usando a nova linha 1 como pivot.
  • Zerar entrada em linha 2: L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1.
    Cálculo coordenada a coordenada:
L_2: \\ (2,-4,-2|-4)-2(1,-2,-3|-4)=(0,0,4|4).
  • Zerar entrada em linha 3: L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1.
L_3: \\ (3,2,-5|8)-3(1,-2,-3|-4)=(0,8,4|20).
  • Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -3 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 4\\[4pt] 0 & 8 & 4 & 20 \end{array}\right].]

Passo 7

Organizar pivôs (colocar uma linha com pivô na coluna 2).
  • Troco L_2 e L_3 para ter um pivô na coluna 2:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -3 & -4\\[4pt] 0 & 8 & 4 & 20\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 4 \end{array}\right].
  • Agora a linha 2 tem coeficiente 8 na coluna 2; é um bom pivô.]

Passo 8

Usar o pivô da linha 2 para zerar a entrada correspondente na linha 1 (coluna 2).
  • Queremos zerar o -2 em L_1 col2. Uma forma prática: adicionar \tfrac{1}{4}L_2 a L_1, porque \tfrac{1}{4}\cdot 8=2.
  • Calcule \tfrac{1}{4}L_2=(0,2,1|5).
  • Faça L_1 \leftarrow L_1 + \tfrac{1}{4}L_2:
L_1: \\ (1,-2,-3|-4)+(0,2,1|5)=(1,0,-2|1).
  • Matriz agora:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 8 & 4 & 20\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 4 \end{array}\right].]

Passo 9

Simplificar as linhas para facilitar a substituição regressiva.
  • Divido L_2 por 4 para simplificar (operações elementares válidas): L_2 \leftarrow \tfrac{1}{4}L_2\Rightarrow (0,2,1|5).
  • Divido L_3 por 4: L_3 \leftarrow \tfrac{1}{4}L_3\Rightarrow (0,0,1|1).
  • Matriz escalonada simples:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 10

Substituição regressiva (resolver as incógnitas a partir da última linha).
  • Da linha 3 temos imediatamente:
\text{(3)}\quad z=1.
  • Substituindo z=1 na linha 2:
\text{(2)}\quad 2y+1\cdot z=5 \implies 2y+1=5 \implies 2y=4 \implies y=2.
  • Substituindo y=2 e z=1 na linha 1:
\text{(1)}\quad x+0\cdot y-2z=1 \implies x-2\cdot1=1 \implies x=3.
  • Assim a solução encontrada é (x,y,z)=(3,2,1).

Passo 11

Verificação direta (substituir na equação original).
  • Equação 1: 3x+2y-5z=3\cdot3+2\cdot2-5\cdot1=9+4-5=8. Confere.
  • Equação 2: 2x-4y-2z=2\cdot3-4\cdot2-2\cdot1=6-8-2=-4. Confere.
  • Equação 3: x-2y-3z=3-2\cdot2-3\cdot1=3-4-3=-4. Confere.
    Todas as três equações são satisfeitas, logo a solução está correta.

Resposta

Classificação: sistema compatível determinado (uma única solução).
Solução: \,x=3,\;y=2,\;z=1\,

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