Resolva e classifique os sistemas, em seguida verifique se a solução encontrada está correta: \left\{\begin{array}{l}3 x+2 y-5 z=8 \\\\ 2 x-4 y-2 z=-4 \\\ x-2 y-3 z=-4\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear com três equações e três incógnitas e pede: resolver o sistema, classificá-lo (quantas soluções existem) e verificar a solução encontrada. As equações dadas são:
O objetivo é: (1) encontrar os valores de (x,y,z) que satisfazem todas as equações simultaneamente; (2) dizer se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma; (3) checar que a solução encontrada de fato satisfaz as três equações.]
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática e intuitiva).
O enunciado não pede um método específico. Para sistemas 3×3 a maneira mais direta e confiável é a eliminação de Gauss (eliminação por operações elementares nas linhas) porque dá a solução sem exigir fórmulas longas e é fácil de executar à mão.
Outra ferramenta rápida para classificar o sistema é calcular o determinante da matriz dos coeficientes: se o determinante for diferente de zero, o sistema tem exatamente uma solução (chamamos de sistema compatível determinado). Vou primeiro calcular o determinante para ter a classificação rápida e depois fazer a eliminação passo a passo para encontrar a solução (assim você aprende e confere).
Lembrete sobre determinante para 3×3: para a matriz
A=\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix}
o determinante é
\det(A)=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Se \det(A)\neq0, então existe exatamente uma solução.]
Passo 3
Calcular o determinante da matriz dos coeficientes.
Conclusão: \det(A)=32\neq0. Portanto o sistema tem exatamente uma solução (sistema compatível determinado). Agora vamos encontrar essa solução por eliminação (passo a passo), e então verificar.]
Passo 4
Montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares (introdução às operações).
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Essas operações não mudam o conjunto de soluções; usamos para triangular a matriz (transformar em forma escalonada) e depois fazer substituição regressiva.]
Passo 5
Troca de linhas para ter pivot simples (evitar frações desnecessárias).
Observação: a terceira linha tem um 1 na posição inicial, o que facilita. Troco a linha 1 pela linha 3: