Sejam os operadores \frac{d^{2}}{d x^{2}}, \frac{d}{d t}, \frac{d^{2}}{d x^{2}}+2 \frac{d}{d x}+3 e \frac{\partial}{\partial y} com as respectivas autofunções \cos \omega x, \exp ^{i \omega t}, \exp ^{\alpha x} e x^{2} e^{6 y}. Calcule o autovalor para cada caso.

Passo 1

O enunciado dá quatro operadores lineares e, para cada um, uma função que é apontada como autofunção. Pede-se calcular o autovalor correspondente a cada par (operador, autofunção). As informações fornecidas são:
  • Operador \dfrac{d^{2}}{d x^{2}} com autofunção \cos\omega x.
  • Operador \dfrac{d}{d t} com autofunção e^{i\omega t}.
  • Operador \dfrac{d^{2}}{d x^{2}} + 2\dfrac{d}{d x} + 3 com autofunção e^{\alpha x}.
  • Operador \dfrac{\partial}{\partial y} com autofunção x^{2} e^{6y}.
O que se pede: para cada caso, encontrar o escalar \lambda tal que o operador aplicado à autofunção dá \lambda vezes a autofunção, isto é,
L\varphi = \lambda \varphi.

Passo 2

Conceito e estratégia (aula rápida e prática). Uma função \varphi é autofunção do operador L se existir um número (possivelmente complexo) \lambda com
L\varphi = \lambda \varphi.
Para encontrar \lambda basta aplicar L em \varphi, usar regras de diferenciação básicas (regra do produto, regra da cadeia) e fatorar \varphi do resultado. O coeficiente que aparece ao fatorar é o autovalor.
Vou aplicar isso passo a passo em cada par (operador, autofunção). Lembre-se: todo \omega, \alpha e x são tratados como constantes relativas à operação que não os varia (por exemplo, ao derivar em t, \omega é constante; ao derivar em y, x é tratado como constante).

Passo 3

Caso 1: L=\dfrac{d^{2}}{d x^{2}} e \varphi(x)=\cos\omega x.
Primeira derivada (regra da cadeia): \frac{d}{dx}\cos\omega x = -\omega \sin\omega x,
porque \dfrac{d}{du}\cos u = -\sin u e u=\omega x tem du/dx=\omega.
Segunda derivada: derivando -\omega \sin\omega x novamente e aplicando a cadeia,
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\cos\omega x = \frac{d}{dx}(-\omega \sin\omega x) = -\omega \cdot (\omega \cos\omega x) = -\omega^{2}\cos\omega x.
Portanto,
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\cos\omega x = (-\omega^{2})\cos\omega x,
logo o autovalor é \lambda = -\omega^{2}.

Passo 4

Caso 2: L=\dfrac{d}{d t} e \varphi(t)=e^{i\omega t}.
Regra: derivada de exponencial composta \dfrac{d}{dt}e^{i\omega t} = i\omega e^{i\omega t} porque \dfrac{d}{du}e^{u}=e^{u} e u=i\omega t tem du/dt=i\omega.
Assim,
\frac{d}{dt}e^{i\omega t} = (i\omega)e^{i\omega t},
portanto o autovalor é \lambda = i\omega.

Passo 5

Caso 3: L=\dfrac{d^{2}}{d x^{2}}+2\dfrac{d}{d x}+3 e \varphi(x)=e^{\alpha x}.
Calcule as derivadas de e^{\alpha x}:
\frac{d}{dx}e^{\alpha x} = \alpha e^{\alpha x}, \qquad \frac{d^{2}}{dx^{2}}e^{\alpha x} = \alpha^{2} e^{\alpha x}.
Aplicando L:
L e^{\alpha x} = \left(\alpha^{2} + 2\alpha + 3\right)e^{\alpha x}.
Fatorando e^{\alpha x} obtemos o autovalor
\lambda = \alpha^{2} + 2\alpha + 3.

Passo 6

Caso 4: L=\dfrac{\partial}{\partial y} e \varphi(x,y)=x^{2}e^{6y}.
Aqui x é tratado como constante ao derivar em y. Derivada parcial:
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}e^{6y}\big) = x^{2}\cdot \frac{d}{dy}e^{6y} = x^{2}\cdot 6 e^{6y} = 6\big(x^{2}e^{6y}\big).
Portanto o autovalor é \lambda = 6.

Passo 7

Observações finais curtas (motivação e lembrete): os autovalores podem ser números reais ou complexos (por exemplo i\omega é puramente imaginário se \omega real). Na prova, a técnica padrão é sempre a mesma: aplicar o operador, usar regras de diferenciação e fatorar a função; o coeficiente é o autovalor. Vai dar certo — respira fundo e repete o procedimento com calma.

Resposta

\lambda = -\omega^{2}
\lambda = i\omega
\lambda = \alpha^{2} + 2\alpha + 3
\lambda = 6

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