Sejam os operadores
e
com as respectivas autofunções
,
,
e
. Calcule o autovalor para cada caso.
Passo 1
O enunciado dá quatro operadores lineares e, para cada um, uma função que é apontada como autofunção. Pede-se calcular o autovalor correspondente a cada par (operador, autofunção). As informações fornecidas são:
- Operador
com autofunção . - Operador
com autofunção . - Operador
com autofunção . - Operador
com autofunção .
O que se pede: para cada caso, encontrar o escalar
tal que o operador aplicado à autofunção dá
vezes a autofunção, isto é,
Passo 2
Conceito e estratégia (aula rápida e prática). Uma função
é autofunção do operador
se existir um número (possivelmente complexo)
com
Para encontrar
basta aplicar
em
, usar regras de diferenciação básicas (regra do produto, regra da cadeia) e fatorar
do resultado. O coeficiente que aparece ao fatorar é o autovalor.
Vou aplicar isso passo a passo em cada par (operador, autofunção). Lembre-se: todo
,
e
são tratados como constantes relativas à operação que não os varia (por exemplo, ao derivar em
,
é constante; ao derivar em
,
é tratado como constante).
Passo 3
Caso 1:
e
.
Primeira derivada (regra da cadeia):
porque
e
tem
.
Segunda derivada: derivando
novamente e aplicando a cadeia,
Portanto,
logo o autovalor é
.
Passo 4
Caso 2:
e
.
Regra: derivada de exponencial composta
porque
e
tem
.
Assim,
portanto o autovalor é
.
Passo 5
Caso 3:
e
.
Calcule as derivadas de
:
Aplicando
:
Fatorando
obtemos o autovalor
Passo 6
Caso 4:
e
.
Aqui
é tratado como constante ao derivar em
. Derivada parcial:
Portanto o autovalor é
.
Passo 7
Observações finais curtas (motivação e lembrete): os autovalores podem ser números reais ou complexos (por exemplo
é puramente imaginário se
real). Na prova, a técnica padrão é sempre a mesma: aplicar o operador, usar regras de diferenciação e fatorar a função; o coeficiente é o autovalor. Vai dar certo — respira fundo e repete o procedimento com calma.