Sejam
primos distintos e positivos tais que
. Mostre que se
, então
.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
-
e são primos distintos e positivos. -
. -
.
O que se pede: mostrar que
Passo 2
Primeiras observações úteis extraídas das hipóteses.
- Como
, necessariamente e . - Da divisibilidade
existe um inteiro tal que
Passo 3
Enunciado e prova do lema principal que vamos usar (Pequeno Teorema de Fermat), explicada de forma elementar.
Lema (Pequeno Teorema de Fermat): se
é primo e
, então
Prova elementar do lema: considere os números
módulo
. Multiplicar cada um deles por
(com
) apenas permuta esses resíduos não nulos, ou seja, os produtos
representam os mesmos
resíduos não nulos em ordem permutada. Então, tomando o produto dos
números em cada lista, obtemos a congruência
Como
não divide
(nenhum dos fatores
é múltiplo de
), o número
tem inverso multiplicativo modulo
; portanto podemos “cancelar”
na congruência e obter
o que prova o lema.
Passo 4
Aplicação do lema ao primo
.
Como
, pelo lema temos
Elevando essa congruência à potência
(multiplicando expoentes), obtemos
Recordando que
, segue
Passo 5
Aplicação do lema ao primo
.
Como
, pelo lema também
Passo 6
Conclusão combinando as congruências.
Dos Passos 4 e 5 temos que
é múltiplo de
e também múltiplo de
. Como
e
são primos distintos,
; portanto um inteiro que é múltiplo de
e de
é múltiplo de
. Logo
ou seja