Use o teorema do valor intermediário para mostrar que a equação
possui uma raiz real no intervalo ]1, 2[ (vale 1 ponto)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
possui uma raiz real no intervalo
. Informações fornecidas:
- A equação considerada é
. - O intervalo onde devemos provar a existência da raiz é
. - Não há imagens ou dados adicionais.
Passo 2
Defino a função auxiliar que vou estudar:
Esta função é um polinômio. Polinômios são funções que podem ser escritas como soma de monômios
; eles são construídos por soma e produto de funções contínuas básicas (a função identidade
e constantes). Portanto
é contínua em todo
. Aqui “contínua” significa, em palavras simples, que valores de
variam sem saltos quando
varia — formalmente, para qualquer
,
.
Passo 3
Vou avaliar
nas extremidades do intervalo pedido, calculando passo a passo.
Calcule
:
Logo
.
Calcule
:
Logo
.
Portanto os valores nas extremidades têm sinais opostos:
e
.
Passo 4
Agora aplico o Teorema do Valor Intermediário (TVI). O enunciado do TVI é:
Aqui posso tomar
,
,
e
. Como
é contínua em
e
está entre
e
, o TVI garante que existe pelo menos um
tal que
ou seja,
.
Passo 5
Comentário final e incentivo: o TVI dá existência de pelo menos uma raiz em
; não garante quantas raízes há nesse intervalo, apenas que pelo menos uma existe. Boa! Esse é um uso típico e direto do TVI: mostrar mudança de sinal e apelar para continuidade.
Resposta
A equação
possui pelo menos uma raiz real em
.