Use o teorema do valor intermediário para mostrar que a equação x^{4}-x-3=0 possui uma raiz real no intervalo ]1, 2[ (vale 1 ponto)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação x^{4}-x-3=0 possui uma raiz real no intervalo ]1,2[. Informações fornecidas:
  • A equação considerada é x^{4}-x-3=0.
  • O intervalo onde devemos provar a existência da raiz é ]1,2[.
  • Não há imagens ou dados adicionais.

Passo 2

Defino a função auxiliar que vou estudar:
f(x)=x^{4}-x-3.
Esta função é um polinômio. Polinômios são funções que podem ser escritas como soma de monômios a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0; eles são construídos por soma e produto de funções contínuas básicas (a função identidade x\mapsto x e constantes). Portanto f é contínua em todo \mathbb{R}. Aqui “contínua” significa, em palavras simples, que valores de f(x) variam sem saltos quando x varia — formalmente, para qualquer x_0, \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0).

Passo 3

Vou avaliar f nas extremidades do intervalo pedido, calculando passo a passo.
Calcule f(1):
f(1)=1^{4}-1-3 = 1-1-3 = -3.
Logo f(1)=-3<0.
Calcule f(2):
f(2)=2^{4}-2-3 = 16-2-3 = 11.
Logo f(2)=11>0.
Portanto os valores nas extremidades têm sinais opostos: f(1)<0 e f(2)>0.

Passo 4

Agora aplico o Teorema do Valor Intermediário (TVI). O enunciado do TVI é:
\text{Se }g\text{ é contínua em }[a,b]\text{ e }y\text{ é qualquer valor entre }g(a)\text{ e }g(b),\text{ então existe }c\in(a,b)\text{ com }g\text{(c)}=y.éíéã
Aqui posso tomar g=f, a=1, b=2 e y=0. Como f é contínua em [1,2] e 0 está entre f(1)=-3 e f(2)=11, o TVI garante que existe pelo menos um c\in(1,2) tal que
f\text{(c)}=0,
ou seja, c^{4}-c-3=0.

Passo 5

Comentário final e incentivo: o TVI dá existência de pelo menos uma raiz em ]1,2[; não garante quantas raízes há nesse intervalo, apenas que pelo menos uma existe. Boa! Esse é um uso típico e direto do TVI: mostrar mudança de sinal e apelar para continuidade.

Resposta

A equação x^{4}-x-3=0 possui pelo menos uma raiz real em ]1,2[.

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