Sejam os pontos A(1,2,1), B(-1,3,3), C(m+n, 2 p+2, m-p-2 n), determine:
A distância entre A e B.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A(1,2,1),\qquad B(-1,3,3),\qquad C(m+n,2p+2,m-p-2n)
e pede apenas a distância entre A e B.
Informações relevantes para esta parte: as coordenadas de A e B são explicitamente fornecidas; não é necessário usar o ponto C para calcular a distância AB.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (distância euclidiana em \mathbb{R}^3). Para dois pontos
P_1=(x_1,y_1,z_1)\quad\text{e}\quad P_2=(x_2,y_2,z_2),
a distância entre eles é dada por
d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
Explicando essa fórmula de forma simples: ela é uma extensão do Teorema de Pitágoras para três dimensões — calcula primeiro as diferenças em cada eixo ( x, y, z), eleva ao quadrado (para tornar todos positivos e somar contribuições), soma essas três quantias e então tira a raiz quadrada para voltar à unidade original de comprimento. Em particular, cada termo (x_2-x_1)^2, (y_2-y_1)^2 e (z_2-z_1)^2 representa a contribuição quadrada da separação ao longo do eixo correspondente.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao par A(1,2,1) e B(-1,3,3). Calculo primeiro as diferenças coordenada a coordenada:
\Delta x = x_B-x_A = -1-1 = -2,
\Delta y = y_B-y_A = 3-2 = 1,
\Delta z = z_B-z_A = 3-1 = 2.

Passo 4

Agora elevo ao quadrado cada diferença e somo:
(\Delta x)^2 = (-2)^2 = 4, \qquad (\Delta y)^2 = 1^2 = 1, \qquad (\Delta z)^2 = 2^2 = 4.
(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2 = 4+1+4 = 9.

Passo 5

Finalmente, tiro a raiz quadrada para obter a distância:
d(A,B)=\sqrt{9}=3.

Resposta

3

Exercícios relacionados