Dadas as retas: ®
\left{ \begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=2-3 t\end{array} \quad\right.
e (s) \quad x+y-2=0
Determine:
As interseções de r com os eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta (r) em forma paramétrica:
x = 1 + 2t,\qquad y = 2 - 3t,
onde t é o parâmetro real. O que o exercício pede: determinar as interseções da reta (r) com os eixos coordenados, ou seja:
  • o ponto onde (r) corta o eixo x (eixo das abscissas), que é o ponto com y=0;
  • o ponto onde (r) corta o eixo y (eixo das ordenadas), que é o ponto com x=0.

Passo 2

Como primeira ação concreta: encontrar a interseção com o eixo x. Por definição, um ponto do eixo x tem y=0. Então substituímos y=2-3t por zero e resolvemos para t:
2-3t=0.
Agora isolamos t:
-3t = -2 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{2}{3}.

Passo 3

Com o valor de t encontrado, usamos a expressão de x para obter a abscissa do ponto de interseção. Substituindo t=\frac{2}{3} em x=1+2t:
x = 1 + 2\cdot\frac{2}{3} = 1 + \frac{4}{3}.
Fazendo a soma com denominador comum:
1 = \frac{3}{3},\qquad \frac{3}{3}+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}.
Portanto o ponto de interseção com o eixo x é \left(\frac{7}{3},0\right).

Passo 4

Agora determinamos a interseção com o eixo y. Um ponto do eixo y tem x=0. Substituímos x=1+2t por zero e resolvemos para t:
1+2t=0.
Isolando t:
2t = -1 \quad\Rightarrow\quad t = -\frac{1}{2}.

Passo 5

Com t=-\frac{1}{2}, calculamos a ordenada correspondente usando y=2-3t:
y = 2 - 3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = 2 + \frac{3}{2}.
Somando com denominador comum:
2 = \frac{4}{2},\qquad \frac{4}{2}+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}.
Logo o ponto de interseção com o eixo y é \left(0,\frac{7}{2}\right).

Passo 6

Pequena observação prática (útil para a prova): se a reta está em forma paramétrica \,x=x_0+bt,\; y=y_0+dt\,, então
  • interseção com o eixo x (quando d\neq0) ocorre em t=-\dfrac{y_0}{d} e o ponto é \bigl(x_0+b\cdot(-\dfrac{y_0}{d}),0\bigr);
  • interseção com o eixo y (quando b\neq0) ocorre em t=-\dfrac{x_0}{b} e o ponto é \bigl(0,y_0+d\cdot(-\dfrac{x_0}{b})\bigr).
    Se b=0 a reta é paralela ao eixo y (não corta, ou é coincidente); se d=0 a reta é paralela ao eixo x (não corta, ou é coincidente). Isso evita surpresas na prova.

Resposta

\left(\dfrac{7}{3},0\right)
\left(0,\dfrac{7}{2}\right)

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