Sejam
,
conjuntos limitados tais que
e
.
Se para cada
, existe
tal que
, prove que
.
Se para cada
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
- Existem conjuntos limitados
tais que e . - Para cada
existe tal que . - O objetivo pedido é provar que
.
Observação importante: aqui se assume implicitamente que
e
não são vazios, de modo que os supremos existem (o campo
é completo, então todo conjunto não vazio e limitado acima tem supremo). Se algum conjunto fosse vazio, o enunciado precisaria tratar esse caso separadamente; seguimos a hipótese usual de que os conjuntos relevantes são não vazios.
Passo 2
Relembrando definições (aula rápida e prática):
- Uma constante
é um limite superior (ou majorante) de um conjunto se para todo vale . - O supremo de
, escrito , é o menor dos limites superiores de . Em outras palavras: -
é um limite superior de ; - se
é qualquer outro limite superior de , então .
-
Essas duas propriedades são as que vamos usar: (i)
é majorante de
; (ii) é o menor majorante.
Passo 3
Primeira desigualdade óbvia usando
:
Como
, qualquer majorante de
também é majorante de
. Em particular,
é um majorante de
, logo é também um majorante de
. Pela definição de supremo (menor majorante) segue que
Esta é uma desigualdade padrão quando se tem inclusão de conjuntos: se
então
(sempre que os supremos existam).
Passo 4
Agora usamos a hipótese extra fornecida: para cada
existe
com
.
Seja
. Pelo que dissemos em Passo 2,
é um majorante de
, ou seja, para todo
vale
.
Tomemos um elemento arbitrário
. Pela hipótese existe
com
. Aplicando que
obtemos, em seguida,
. Como
era arbitrário, concluímos que todo elemento de
é menor ou igual a
. Portanto
é um majorante de
.
Em frases mais simples: cada
fica abaixo de algum
, e todo
fica abaixo de
; concatenando, todo
fica abaixo de
. Logo
é majorante de
.
Passo 5
Conseqüência do Passo 4 usando a definição de supremo:
Já que
é um majorante de
, e
é o menor majorante de
, segue pela definição de menor majorante que
Passo 6
Combinação das duas desigualdades:
Do Passo 3 obtivemos
.
Do Passo 5 obtivemos .
Do Passo 5 obtivemos
Duas desigualdades contrárias implicam igualdade entre os dois números. Portanto (esta conclusão fica no campo da resposta final).