Sejam A, A^{\prime}, B, B^{\prime} \subset \mathbb{R} conjuntos limitados tais que A^{\prime} \subset A e B^{\prime} \subset B.
Se para cada a \in A, existe a^{\prime} \in A^{\prime} tal que a \leqslant a^{\prime}, prove que \sup A^{\prime}=\sup A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Existem conjuntos limitados A, A^{\prime}, B, B^{\prime}\subset\mathbb{R} tais que A^{\prime}\subset A e B^{\prime}\subset B.
  • Para cada a\in A existe a^{\prime}\in A^{\prime} tal que a\leqslant a^{\prime}.
  • O objetivo pedido é provar que \sup A^{\prime}=\sup A.
Observação importante: aqui se assume implicitamente que A e A' não são vazios, de modo que os supremos existem (o campo \mathbb{R} é completo, então todo conjunto não vazio e limitado acima tem supremo). Se algum conjunto fosse vazio, o enunciado precisaria tratar esse caso separadamente; seguimos a hipótese usual de que os conjuntos relevantes são não vazios.

Passo 2

Relembrando definições (aula rápida e prática):
  • Uma constante M é um limite superior (ou majorante) de um conjunto S\subset\mathbb{R} se para todo s\in S vale s\le M.
  • O supremo de S, escrito \sup S, é o menor dos limites superiores de S. Em outras palavras:
    • \sup S é um limite superior de S;
    • se L é qualquer outro limite superior de S, então \sup S \le L.
Essas duas propriedades são as que vamos usar: (i) \sup S é majorante de S; (ii) é o menor majorante.

Passo 3

Primeira desigualdade óbvia usando A^{\prime}\subset A:
Como A^{\prime}\subset A, qualquer majorante de A também é majorante de A^{\prime}. Em particular, \sup A é um majorante de A, logo é também um majorante de A^{\prime}. Pela definição de supremo (menor majorante) segue que
\sup A^{\prime}\leqslant \sup A.
Esta é uma desigualdade padrão quando se tem inclusão de conjuntos: se X\subset Y então \sup X \le \sup Y (sempre que os supremos existam).

Passo 4

Agora usamos a hipótese extra fornecida: para cada a\in A existe a^{\prime}\in A^{\prime} com a\le a^{\prime}.
Seja s:=\sup A^{\prime}. Pelo que dissemos em Passo 2, s é um majorante de A^{\prime}, ou seja, para todo a^{\prime}\in A^{\prime} vale a^{\prime}\le s.
Tomemos um elemento arbitrário a\in A. Pela hipótese existe a^{\prime}\in A^{\prime} com a\le a^{\prime}. Aplicando que a^{\prime}\le s obtemos, em seguida, a\le s. Como a\in A era arbitrário, concluímos que todo elemento de A é menor ou igual a s. Portanto s é um majorante de A.
Em frases mais simples: cada a\in A fica abaixo de algum a'\in A', e todo a' fica abaixo de s; concatenando, todo a fica abaixo de s. Logo s é majorante de A.

Passo 5

Conseqüência do Passo 4 usando a definição de supremo:
Já que s=\sup A^{\prime} é um majorante de A, e \sup A é o menor majorante de A, segue pela definição de menor majorante que
\sup A \le s = \sup A^{\prime}.

Passo 6

Combinação das duas desigualdades:
Do Passo 3 obtivemos \sup A^{\prime}\le \sup A.
Do Passo 5 obtivemos \sup A\le \sup A^{\prime}.
Duas desigualdades contrárias implicam igualdade entre os dois números. Portanto (esta conclusão fica no campo da resposta final).

Resposta

\sup A^{\prime}=\sup A

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