Sejam D uma região plana do tipo I ou do tipo II e C=partial D. Seja A a área de D. Use o Teorema de Green para mostrar que:
A=ointC x d y=-ointC y d x=12 ointC x d y-y d x

Passo 1

Beleza, então o enunciado fala sobre uma região plana A = ointC x , dy = -ointC y , dx = 12 ointC (x , dy - y , dx) que pode ser do tipo I ou II, com sendo o contorno dessa região. A área dessa região é . A gente vai usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha ao redor do contorno com integrais duplas sobre a região . Nosso objetivo é mostrar que:

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma função vetorial ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy , temos:
Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor do contorno com uma integral dupla sobre a região .

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema de Green para encontrar uma expressão para a área A = integral duplaD dx , dy . Sabemos que a área pode ser escrita como:
Queremos expressar como uma integral de linha ao redor de , então precisamos escolher funções e de forma que a integral dupla pelo Teorema de Green dê exatamente .

Passo 4

Para isso, vamos escolher partial Qpartial x - partial Ppartial y = partial xpartial x - 0 = 1 e integral duplaD 1 , dx , dy = A . Com essas escolhas, o lado direito do Teorema de Green fica:
ointC 0 , dx + x , dy = A Rightarrow ointC x , dy = A
Então, a integral dupla fica:
E o Teorema de Green nos dá:

Passo 5

Agora, para mostrar que partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - (-1) = 1 , vamos escolher integral duplaD 1 , dx , dy = A e ointC (-y) , dx + 0 , dy = A Rightarrow -ointC y , dx = A Rightarrow ointC y , dx = -A . Aplicando o Teorema de Green:
A integral dupla novamente é:
E a integral de linha fica:

Passo 6

Por último, para a expressão ointC x , dy + ointC y , dx = A - A = 0 , basta somar as duas equações que encontramos:
ointC x , dy - ointC y , dx = A + A = 2A
Mas queremos a diferença, então:
12 ointC (x , dy - y , dx) = A
Dividindo por 2, temos:

Resposta

Assim, mostramos que:
A = ointC x , dy = -ointC y , dx = 12 ointC (x , dy - y , dx)

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