Sejam a reta r e o plano pi dados por:
r:l y=2 x-3 z=-x+2 e pi: 2 x+4 y-z-4=0
Determine:
(a) O ponto de interseção da reta r com o plano pi.
(b) O ponto de interseção da reta r com o plano O x z.
© Uma equação da reta de interseção do plano pi com o plano O x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma reta r: y = 2x - 3 z = -x + 2 e pi: 2x + 4y - z - 4 = 0 e um plano definidos pelas equações:
O que a gente precisa fazer é encontrar pontos de interseção entre essa reta e esses planos. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, que estuda como linhas e planos se intersectam no espaço tridimensional.

Passo 2

Item (a): Encontrar o ponto de interseção da reta com o plano .
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção entre uma reta e um plano. Basicamente, a interseção é o ponto que está na reta e também no plano ao mesmo tempo. Para encontrar esse ponto, substituímos as equações da reta na equação do plano e resolvemos para a variável que sobra, que nesse caso é .

Passo 3

Vamos substituir as expressões de 2x + 4y - z - 4 = 0 e 2x + 4(2x - 3) - (-x + 2) - 4 = 0 da reta na equação do plano :
Substituindo e :

Passo 4

Vamos simplificar essa equação:
2x + 8x - 12 + x - 2 - 4 = 0
Somando os termos semelhantes:
(2x + 8x + x) + (-12 - 2 - 4) = 0
11x - 18 = 0

Passo 5

Agora, resolvemos para 11x = 18 implies x = 1811 :

Passo 6

Com o valor de y = 2x - 3 = 2(1811) - 3 = 3611 - 3311 = 311 , vamos encontrar z = -x + 2 = -1811 + 2 = -1811 + 2211 = 411 e usando as equações da reta:

Resposta

O ponto de interseção da reta com o plano é .

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