Obter uma equação geral do plano que:
passa pelo ponto A=(-1,2,-4) e é perpendicular aos planos pi1: x+z=2 e pi2: y-z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e é perpendicular aos planos e . Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores normais e produto vetorial. Vamos necessidade de identificar os vetores normais dos planos dados, encontrar um novo vetor normal que seja perpendicular a ambos e, por fim, montar a equação do plano usando o ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos ax + by + cz = d e . A equação geral de um plano é dada por:
Onde é o vetor normal ao plano.
  • Para , o vetor normal é
  • Para , o vetor normal é

Passo 3

Agora, como queremos um plano que seja perpendicular a ambos n = n1 times n2 e n = i & j & k 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 = i(0 cdot (-1) - 1 cdot 1) - j(1 cdot (-1) - 1 cdot 0) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 0) , precisamos encontrar um vetor normal = i(-1) - j(-1) + k(1) que seja perpendicular a = (-1, 1, 1) e . Para isso, usamos o produto vetorial entre e :
Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal do nosso plano procurado é .

Passo 4

Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e o ponto -1(x - (-1)) + 1(y - 2) + 1(z - (-4)) = 0 pelo qual o plano passa, podemos montar a equação geral do plano usando a fórmula:
-1(x + 1) + 1(y - 2) + 1(z + 4) = 0
Onde - x - 1 + y - 2 + z + 4 = 0 são as coordenadas do ponto - x + y + z + 1 = 0 e são as componentes do vetor normal.
Substituindo os valores:

Resposta

A equação geral do plano é:
-,x + y + z + 1 = 0

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