Sejam S: P1 P2 e T: P2 P1 as transformações lineares dadas por
S(a+b x)=a+(a+b) x+2 b x^2 e T(a+b x+c x^2)=b+2 c x
É possível calcular (T circ S)(a+b x) ? Em caso afirmativo, calcule (T circ S)(pi+pi x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas transformações lineares, e , que agem entre espaços de polinômios. A pergunta é se conseguimos calcular a composição dessas transformações, ou seja, aplicar depois de em um polinômio específico, que nesse caso é . Vamos precisar entender como essas transformações funcionam e depois aplicar uma na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a transformação S(a + bx) = a + (a + b)x + 2b x^2 . Ela pega um polinômio de primeiro grau, S(pi + pi x) = pi + (pi + pi)x + 2pi x^2 , e transforma em um polinômio de segundo grau:
S(pi + pi x) = pi + 2pi x + 2pi x^2
Então, se colocarmos e , temos:
Simplificando isso:

Passo 3

Agora vamos aplicar a transformação T(a + bx + cx^2) = b + 2c x nesse resultado. A transformação T(pi + 2pi x + 2pi x^2) = 2pi + 2 times 2pi x pega um polinômio de segundo grau, T(pi + 2pi x + 2pi x^2) = 2pi + 4pi x , e transforma de volta em um polinômio de primeiro grau:
No nosso caso, , e . Então:

Resposta

Portanto, .

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