Sejam os sinais de banda base x(t) e y(t), com larguras de banda B_{x} e B_{y}, respectivamente. Explique conceitualmente o que acontece com a largura de banda dos sinais quando:
( 1,0 pontos) realizamos a convolução entre os sinais no domínio do tempo.

Passo 1

O enunciado pede: explicar conceitualmente o que acontece com a largura de banda dos sinais quando realizamos a convolução no domínio do tempo entre dois sinais de banda base x(t) e y(t).
Informações dadas: os sinais são de banda base e têm larguras de banda B_{x} e B_{y}, respectivamente.
Pergunta específica: após fazermos x(t)*y(t) (convolução no tempo), como fica a largura de banda do sinal resultante?

Passo 2

Primeiro, o que é “largura de banda” aqui (explicação didática):
A largura de banda de um sinal de banda base é a maior frequência (em valor absoluto) na qual o seu espectro é não nulo — isto é, se o espectro X(f) está confinado a |f|\le B_{x}, dizemos que x(t) tem largura de banda B_{x}. Em palavras simples: a largura de banda é até qual frequência o sinal “tem energia” no domínio da frequência.

Passo 3

Agora uma ferramenta-chave que vamos usar (explicação passo a passo): a Transformada de Fourier e o Teorema da Convolução.
Definição mínima da Transformada de Fourier (intuição): ela transforma um sinal no tempo x(t) em seu espectro X(f), que mostra quanto de cada frequência existe em x(t).
Teorema da Convolução (forma usada aqui): quando fazemos a convolução no tempo, isso corresponde a multiplicar os espectros no domínio da frequência. Formalmente,
x(t)*y(t)\\ \xleftrightarrow{\mathcal{F}}\\ X(f)\,Y(f).
Isto significa que o espectro do sinal convoluído é exatamente o produto ponto a ponto dos espectros originais.

Passo 4

Use do teorema para vincular suportes (a parte prática e essencial):
Suponha que X(f) é não nulo só para |f|\le B_{x} e Y(f) é não nulo só para |f|\le B_{y} — isto é, ambos são sinais de banda base centrados em f=0. Quando multiplicamos X(f) por Y(f), o produto X(f)Y(f) só pode ser não nulo em frequências onde ambos os fatores são não nulos simultaneamente. Logo o suporte do produto é a interseção dos suportes:
\text{suporte}\{X(f)Y(f)\} \subseteq \{f: |f|\le B_{x}\} \cap \{f: |f|\le B_{y}\}.
Essa interseção corresponde a |f|\le \min(B_{x},B_{y}). Portanto o espectro do sinal convoluído está confinado a essa faixa.

Passo 5

Conclusão direta (e a regra prática para prova):
A largura de banda do sinal x(t)*y(t) é, no máximo, \min(B_{x},B_{y}). Em outras palavras, a convolução no tempo tende a “aplicar” a interseção dos espectros — o resultado não pode ter frequências além da menor das duas bandas originais.

Passo 6

Intuição física curta e um exemplo numérico para fixar:
Intuitivamente isso significa que convolver no tempo com um sinal que é estritamente de banda mais estreita funciona como um filtro que corta as frequências fora dessa banda estreita. Por exemplo, se B_{x}=5\\ \text{Hz} e B_{y}=2\\ \text{Hz}, então o espectro de x*y estará confinado a |f|\le 2\\ \text{Hz} — ou seja, largura de banda no máximo 2\\ \text{Hz}.

Passo 7

Caveats importantes (o que pode acontecer além do caso típico):
  • Se dentro da interseção houver cancelamentos (zeroes em um espectro exatamente onde o outro é não nulo), a largura de banda efetiva pode ficar ainda menor que \min(B_{x},B_{y}).
  • Se os sinais não forem exatamente “de banda base” centrados em zero (por exemplo, sinais com deslocamento em frequência), o raciocínio precisa considerar os suportes reais no eixo f; o produto ainda será limitado à interseção desses suportes.
  • Em contraste, convolução no tempo geralmente alarga a duração temporal do sinal (a operação espalha no tempo), mas em frequência a operação é multiplicativa e tende a restringir ao que ambos têm em comum.

Resposta

A largura de banda do sinal x(t)*y(t) é, no máximo, \min(B_{x},B_{y}).

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