Sejam os sinais de banda base
e
, com larguras de banda
e
, respectivamente. Explique conceitualmente o que acontece com a largura de banda dos sinais quando:
( 1,0 pontos) realizamos a convolução entre os sinais no domínio do tempo.
( 1,0 pontos) realizamos a convolução entre os sinais no domínio do tempo.
Passo 1
O enunciado pede: explicar conceitualmente o que acontece com a largura de banda dos sinais quando realizamos a convolução no domínio do tempo entre dois sinais de banda base
e
.
Informações dadas: os sinais são de banda base e têm larguras de banda e
, respectivamente.
Pergunta específica: após fazermos (convolução no tempo), como fica a largura de banda do sinal resultante?
Informações dadas: os sinais são de banda base e têm larguras de banda
Pergunta específica: após fazermos
Passo 2
Primeiro, o que é “largura de banda” aqui (explicação didática):
A largura de banda de um sinal de banda base é a maior frequência (em valor absoluto) na qual o seu espectro é não nulo — isto é, se o espectro está confinado a
, dizemos que
tem largura de banda
. Em palavras simples: a largura de banda é até qual frequência o sinal “tem energia” no domínio da frequência.
A largura de banda de um sinal de banda base é a maior frequência (em valor absoluto) na qual o seu espectro é não nulo — isto é, se o espectro
Passo 3
Agora uma ferramenta-chave que vamos usar (explicação passo a passo): a Transformada de Fourier e o Teorema da Convolução.
Definição mínima da Transformada de Fourier (intuição): ela transforma um sinal no tempo em seu espectro
, que mostra quanto de cada frequência existe em
.
Teorema da Convolução (forma usada aqui): quando fazemos a convolução no tempo, isso corresponde a multiplicar os espectros no domínio da frequência. Formalmente,
Definição mínima da Transformada de Fourier (intuição): ela transforma um sinal no tempo
Teorema da Convolução (forma usada aqui): quando fazemos a convolução no tempo, isso corresponde a multiplicar os espectros no domínio da frequência. Formalmente,
Isto significa que o espectro do sinal convoluído é exatamente o produto ponto a ponto dos espectros originais.
Passo 4
Use do teorema para vincular suportes (a parte prática e essencial):
Suponha que é não nulo só para
e
é não nulo só para
— isto é, ambos são sinais de banda base centrados em
. Quando multiplicamos
por
, o produto
só pode ser não nulo em frequências onde ambos os fatores são não nulos simultaneamente. Logo o suporte do produto é a interseção dos suportes:
Suponha que
Essa interseção corresponde a
. Portanto o espectro do sinal convoluído está confinado a essa faixa.
Passo 5
Conclusão direta (e a regra prática para prova):
A largura de banda do sinal é, no máximo,
. Em outras palavras, a convolução no tempo tende a “aplicar” a interseção dos espectros — o resultado não pode ter frequências além da menor das duas bandas originais.
A largura de banda do sinal
Passo 6
Intuição física curta e um exemplo numérico para fixar:
Intuitivamente isso significa que convolver no tempo com um sinal que é estritamente de banda mais estreita funciona como um filtro que corta as frequências fora dessa banda estreita. Por exemplo, se e
, então o espectro de
estará confinado a
— ou seja, largura de banda no máximo
.
Intuitivamente isso significa que convolver no tempo com um sinal que é estritamente de banda mais estreita funciona como um filtro que corta as frequências fora dessa banda estreita. Por exemplo, se
Passo 7
Caveats importantes (o que pode acontecer além do caso típico):
- Se dentro da interseção houver cancelamentos (zeroes em um espectro exatamente onde o outro é não nulo), a largura de banda efetiva pode ficar ainda menor que
. - Se os sinais não forem exatamente “de banda base” centrados em zero (por exemplo, sinais com deslocamento em frequência), o raciocínio precisa considerar os suportes reais no eixo
; o produto ainda será limitado à interseção desses suportes. - Em contraste, convolução no tempo geralmente alarga a duração temporal do sinal (a operação espalha no tempo), mas em frequência a operação é multiplicativa e tende a restringir ao que ambos têm em comum.
Resposta
A largura de banda do sinal
é, no máximo,
.