Sejam os sinais de banda base x(t) e y(t), com larguras de banda B_{x} e B_{y}, respectivamente. Explique conceitualmente o que acontece com a largura de banda dos sinais quando:
( 1,0 pontos) realizamos a multiplicação entre os sinais no domínio do tempo.

Passo 1

O enunciado dá dois sinais de banda base x(t) e y(t) com larguras de banda B_{x} e B_{y}, respectivamente, e pede: o que acontece com a largura de banda dos sinais quando realizamos a multiplicação x(t)\cdot y(t) no domínio do tempo?
Informações relevantes: os dois sinais são de banda base e temos os valores simbólicos das larguras de banda B_{x} e B_{y}. A pergunta é conceitual (qual a largura de banda resultante).

Passo 2

Propriedade fundamental que usaremos (sem resolvê-la ainda): a transformada de Fourier do produto no tempo é a convolução dos espectros no domínio da frequência. Ou seja, se X(f) é a transformada de x(t) e Y(f) é a transformada de y(t), então
\mathcal{F}\{x(t)\,y(t)\} = X(f) * Y(f) = \int_{-\infty}^{\infty} X(\nu)\,Y(f-\nu)\,d\nu.
Aqui \nu é a variável de integração (frequência), f é a frequência onde avaliamos o resultado, e * denota convolução. Essa propriedade é crucial: multiplicar no tempo mistura/funde os espectros por meio da convolução.

Passo 3

Vamos usar a própria definição de largura de banda dada pelo enunciado. Assumimos (hipótese padrão para sinais de banda base) que
X(f)=0\quad\text{para}\quad |f|>B_{x},
e
Y(f)=0\quad\text{para}\quad |f|>B_{y}.
Isto é, os espectros não têm conteúdo fora dos intervalos [-B_{x},B_{x}] e [-B_{y},B_{y}], respectivamente.

Passo 4

Agora determino onde a convolução X*Y pode ser diferente de zero. No integrand da convolução X(\nu)\,Y(f-\nu) ambos os fatores precisam ser não nulos para contribuir. Isso impõe duas condições sobre \nu:
\nu\in[-B_{x},B_{x}]
e
f-\nu\in[-B_{y},B_{y}] \quad\Longrightarrow\quad \nu\in[f-B_{y},\,f+B_{y}].
Para que o produto X(\nu)Y(f-\nu) tenha suporte não vazio, os dois intervalos para \nu devem intersectar:
[-B_{x},B_{x}]\cap[f-B_{y},\,f+B_{y}]\neq\varnothing.
Isso só é possível se f satisfaz
-B_{x}-B_{y}\le f\le B_{x}+B_{y}.
Logo, o espectro convoluído X(f)*Y(f) só pode ser não nulo para f dentro de [-B_{x}-B_{y},\,B_{x}+B_{y}].

Passo 5

Da desigualdade do passo anterior concluímos a consequência direta sobre largura de banda: o sinal produto x(t)\,y(t) tem suporte espectral contido em [-B_{x}-B_{y},\,B_{x}+B_{y}]. Portanto a largura de banda (em sentido de extensão máxima de frequências) cresce, e o limite superior para essa largura é
B_{\text{produto}} = B_{x} + B_{y}.
Em palavras: multiplicar no tempo costuma aumentar a largura de banda — no pior caso (ou no caso genérico) a largura resultante é a soma das larguras originais.

Passo 6

Intuição física simples: multiplicar dois sinais no tempo mistura suas frequências, criando componentes que correspondem a somas e diferenças de frequências das componentes originais (mistura/beat). Por isso a faixa ocupada se estende até as somas máximas possíveis, explicando o B_{x}+B_{y}.

Passo 7

Casos especiais e observações práticas:
  • “No máximo” é importante: cancelamentos espectrais particulares (fases e formas específicas de X e Y) podem fazer com que algumas faixas dentro de [-B_{x}-B_{y},B_{x}+B_{y}] fiquem nulas, reduzindo a banda efetiva. Mas, sem informação adicional, a garantia é que a banda não excede B_{x}+B_{y}.
  • Exemplos rápidos: se B_{x}=10\\ \text{kHz} e B_{y}=5\\ \text{kHz}, o produto pode ter conteúdo até 15\\ \text{kHz}. Se y(t) for uma portadora pura (uma exponencial complexa, cujo espectro é deltas em \pm f_{0}), a convolução apenas desloca X(f) e a largura não aumenta além de somar com os deltas (equivalente a deslocamento), o que está consistente com a regra (a soma com um delta desloca sem alargar).

Resposta

A largura de banda do produto x(t)\,y(t) é, no máximo, B_{x}+B_{y}.

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