Sejam os sinais de banda base
e
, com larguras de banda
e
, respectivamente. Explique conceitualmente o que acontece com a largura de banda dos sinais quando:
( 1,0 pontos) realizamos a multiplicação entre os sinais no domínio do tempo.
( 1,0 pontos) realizamos a multiplicação entre os sinais no domínio do tempo.
Passo 1
O enunciado dá dois sinais de banda base
e
com larguras de banda
e
, respectivamente, e pede: o que acontece com a largura de banda dos sinais quando realizamos a multiplicação
no domínio do tempo?
Informações relevantes: os dois sinais são de banda base e temos os valores simbólicos das larguras de banda e
. A pergunta é conceitual (qual a largura de banda resultante).
Informações relevantes: os dois sinais são de banda base e temos os valores simbólicos das larguras de banda
Passo 2
Propriedade fundamental que usaremos (sem resolvê-la ainda): a transformada de Fourier do produto no tempo é a convolução dos espectros no domínio da frequência. Ou seja, se
é a transformada de
e
é a transformada de
, então
Aqui
é a variável de integração (frequência),
é a frequência onde avaliamos o resultado, e
denota convolução. Essa propriedade é crucial: multiplicar no tempo mistura/funde os espectros por meio da convolução.
Passo 3
Vamos usar a própria definição de largura de banda dada pelo enunciado. Assumimos (hipótese padrão para sinais de banda base) que
e
Isto é, os espectros não têm conteúdo fora dos intervalos
e
, respectivamente.
Passo 4
Agora determino onde a convolução
pode ser diferente de zero. No integrand da convolução
ambos os fatores precisam ser não nulos para contribuir. Isso impõe duas condições sobre
:
e
Para que o produto
tenha suporte não vazio, os dois intervalos para
devem intersectar:
Isso só é possível se
satisfaz
Logo, o espectro convoluído
só pode ser não nulo para
dentro de
.
Passo 5
Da desigualdade do passo anterior concluímos a consequência direta sobre largura de banda: o sinal produto
tem suporte espectral contido em
. Portanto a largura de banda (em sentido de extensão máxima de frequências) cresce, e o limite superior para essa largura é
Em palavras: multiplicar no tempo costuma aumentar a largura de banda — no pior caso (ou no caso genérico) a largura resultante é a soma das larguras originais.
Passo 6
Intuição física simples: multiplicar dois sinais no tempo mistura suas frequências, criando componentes que correspondem a somas e diferenças de frequências das componentes originais (mistura/beat). Por isso a faixa ocupada se estende até as somas máximas possíveis, explicando o
.
Passo 7
Casos especiais e observações práticas:
- “No máximo” é importante: cancelamentos espectrais particulares (fases e formas específicas de
e ) podem fazer com que algumas faixas dentro de fiquem nulas, reduzindo a banda efetiva. Mas, sem informação adicional, a garantia é que a banda não excede . - Exemplos rápidos: se
e , o produto pode ter conteúdo até . Se for uma portadora pura (uma exponencial complexa, cujo espectro é deltas em ), a convolução apenas desloca e a largura não aumenta além de somar com os deltas (equivalente a deslocamento), o que está consistente com a regra (a soma com um delta desloca sem alargar).
Resposta
A largura de banda do produto
é, no máximo,
.