Sejam os sinais x(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t}{2}\right), y(t)=t[u(t+2)-u(t+1)]+u(t+1)-u(t) \mathrm{e} z(t)=\cos (2 \pi 0,5 t). Para esses sinais, determine o resultado das operações no domínio do tempo (as equações e o gráfico final):
(1,0 - extra pontos) Calcule as energias (ou potências, se for o caso) dos sinais x(t), y(t) e z(t).
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular as energias (ou, se o sinal não tiver energia finita, a potência média) dos três sinais dados.
Informações que temos do enunciado (copiadas/interpretadas exatamente):
e então computar o valor numérico. Não vou assumir nada que não esteja explícito: quando eu usar a definição padrão de \operatorname{rect}(\cdot) eu explicito isso.
Passo 2
Relembrando a definição (aula rápida e prática):
Energia de um sinal contínuo s(t): \displaystyle E=\int_{-\infty}^{\infty}|s(t)|^{2}\,dt. Se E<\infty chamamos de sinal de energia.
Potência média de um sinal s(t): \displaystyle P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|s(t)|^{2}\,dt. Utilizamos potência quando a energia é infinita (por exemplo sinais periódicos não nulos).
Explicação das variáveis: t é a variável de tempo; |s(t)|^{2} é o quadrado do módulo do sinal (aqui sinais são reais, então é s(t)^2). Essas fórmulas são as que vamos aplicar passo a passo.
Passo 3
Análise e energia de [x(t)=\operatorname{rect}!\left(\frac{t}{2}\right)).
Primeiro, a definição padrão de \operatorname{rect}(t) que vou usar é:
Com essa definição, \operatorname{rect}\!\left(\dfrac{t}{2}\right)=1\] quando \(\left|\dfrac{t}{2}\right|\le \tfrac{1}{2}, ou seja quando |t|\le 1. Logo x(t)=1 para t\in[-1,1] e x(t)=0 fora desse intervalo. (Se alguém usar outra convenção para rect, tem que ajustar; estou explicitando a convenção padrão.)
Análise e energia de [y(t)=t,[u(t+2)-u(t+1)]+u(t+1)-u(t)).
Primeiro entendemos cada termo com as funções degrau u(\cdot):
u(t+2)-u(t+1) é igual a 1 quando a entrada está entre os pontos onde os degraus mudam: isto é para -2\le t< -1, e é 0 fora desse intervalo. (Porque u(t+2) salta em t=-2 e u(t+1) salta em t=-1.)
u(t+1)-u(t) é igual a 1 para -1\le t<0, e 0 fora.
Portanto y(t) é piecewise:
y(t)=\begin{cases} t, & -2\le t < -1,\\[3pt] 1, & -1\le t <0,\\[3pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
(Obs.: em t=-1\] e \(t= -2 ou t=0 os valores nos pontos de salto não afetam a energia porque são conjuntos de medida zero.)
Agora calculamos a energia usando a soma das integrais nos intervalos onde y é não-nulo:
Logo y(t) tem energia finita E_y=\dfrac{10}{3} (aprox. 3{,}333).]
Passo 5
Análise e potência de z(t)=\cos\bigl(2\pi\,0,5\,t\bigr).
Primeiro simplifico a frequência: 2\pi\cdot 0{,}5 = \pi. Logo
z(t)=\cos(\pi t).
Este é um sinal periódicos de amplitude 1. Para um sinal periódico não-nulo a energia ao integrar sobre toda a linha real diverge (porque cada período contribui uma quantidade positiva), então a energia é infinita. Portanto devemos calcular a potência média P_z.
\dfrac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\cos(2\pi t)\,dt tende a 0 quando T\to\infty porque a integral de um cosseno sobre intervalos que cobrem um número grande de períodos média para zero (formalmente, \int_{-T}^{T}\cos(2\pi t)\,dt=\dfrac{\sin(2\pi T)-\sin(-2\pi T)}{2\pi}=0 sempre que T é inteiro; e no limite geral o termo dividido por 2T vai a zero).
Portanto
P_z=\frac{1}{2}\cdot\left(1+0\right)=\frac{1}{2}.
Concluímos que z(t) tem energia infinita e potência média P_z=\dfrac{1}{2}.
Passo 6
Resumo e classificação (para a sua prova — decore o raciocínio):
x(t)=\operatorname{rect}\!\left(\dfrac{t}{2}\right) é um pulso de duração 2 com E_x=2.
y(t) é função peça‑por‑peça valendo t em [-2,-1) e 1 em [-1,0); sua energia é E_y=\dfrac{10}{3}.
z(t)=\cos(\pi t) é periódico, tem energia infinita e potência média P_z=\dfrac{1}{2}.
Vai com calma na prova: identificar regiões onde o sinal é não‑nulo e usar as fórmulas de energia/potência é a parte crucial.