Sejam g(x)=\sqrt{x+2} e g \circ f=\sqrt{x^{2}+1}.
(i) Encontre a função f.
(ii) Encontre a função f \circ g.
(iii) Determine \operatorname{Dom}(g \circ f) e \operatorname{Dom}(f \circ g).

Passo 1

O enunciado dá g(x)=\sqrt{x+2} e diz que
(g\circ f)(x)=\sqrt{x^2+1}.
Pede (i) achar f, (ii) achar f\circ g e (iii) determinar os domínios de g\circ f e de f\circ g. Vamos usar composição de funções e as restrições do radical para isso.

Passo 2

Para encontrar f, note que
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=\sqrt{\,f(x)+2\,}
deve ser igual a \sqrt{x^2+1}. Como a raiz quadrada aqui é sempre não negativa, podemos igualar os radicandos:
f(x)+2 = x^2+1 \quad\Longrightarrow\quad f(x) = x^2 - 1.

Passo 3

Agora calculamos f\circ g:
(f\circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \bigl(\sqrt{x+2}\bigr)^2 - 1 = x+2 - 1 = x + 1.

Passo 4

Faltam os domínios:
  • Para g\circ f, exigimos f(x)+2\ge0. Como f(x)+2 = x^2+1\ge1>0 para todo x, temos
\operatorname{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}.
  • Para f\circ g, basta que g(x) exista, isto é, x+2\ge0. Logo
\operatorname{Dom}(f\circ g)=[-2,\infty).

Resposta

(i) f(x)=x^2-1
(ii) (f\circ g)(x)=x+1
(iii) \operatorname{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}, \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-2,\infty)

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