uma função de classe C^{1}.
a) (2.0) Se S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;(x, y) \in D\right. e \left.z=f(x, y)\right\}, mostre que
A(S)=\iint_{D} \sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}} d \mathbf{A}
onde A(S) denota a área da superfície S.
b) (2.0) Use o item a para calcular a área da parte do plano 2 x+5 y+z=10 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=9.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
(b) Usar o item (a) para calcular a área da parte do plano 2x+5y+z=10 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=9.
Passo 2
Idéia geral (intuição didática): associar cada ponto (x,y)\in D ao ponto (x,y,f(x,y))\in S por uma parametrização. Um pequeno retângulo na região D de lados dx e dy é levado pela parametrização a um paralelogramo sobre a superfície. A área desse paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial das derivadas parciais da parametrização vezes dx\,dy. Integrando sobre D obtemos a área total. Agora vamos executar isso passo a passo e explicar cada conceito.
Passo 3
Definir a parametrização da superfície S por meio da função
\mathbf{r}: D \to \mathbb{R}^{3},\qquad \mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\;y,\;f(x,y)\bigr).
Aqui \mathbf{r} associa a cada par (x,y) um vetor posição no espaço. As derivadas parciais de \mathbf{r} com respeito a x e y são vetores tangentes à superfície:
onde f_x e f_y denotam respectivamente \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}. Explico: cada componente é a derivada da componente correspondente de \mathbf{r}. Por exemplo, a componente z de \mathbf{r} é f(x,y), então sua derivada em x é f_x.
Passo 4
Fórmula da área de um paralelogramo gerado por dois vetores: se \mathbf{u} e \mathbf{v} são vetores em \mathbb{R}^{3}, a área do paralelogramo formado por \mathbf{u} e \mathbf{v} é \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|, ou seja, o módulo do produto vetorial. Intuição curta: o produto vetorial dá um vetor perpendicular cujo módulo vale base vezes altura do paralelogramo.
No nosso contexto, o pequeno retângulo dx\times dy em D é mapeado em um paralelogramo aproximadamente gerado por \mathbf{r}_x\,dx e \mathbf{r}_y\,dy. Logo a área elemental dS sobre a superfície vale
Isto conclui a demonstração do item (a). Um pequeno exemplo de verificação: se f\equiv 0 (superfície plana z=0), então f_x=f_y=0 e a fórmula dá A(S)=\iint_D 1\,dA=\text{área}(D)á, como esperado.
Passo 7
Agora o item (b). A superfície pedida é a parte do plano
2x+5y+z=10
dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=9. Resolver para z para colocá-la na forma z=f(x,y):
z=f(x,y)=10-2x-5y.
Como f é linear, suas derivadas parciais são constantes:
Interpretação: um plano inclinado transforma cada unidade de área do disco em \sqrt{30} unidades de área sobre o plano; por isso multiplicamos pela área do disco.