Sejam D \subset \mathbb{R}^{2} e
\begin{array}{lll} f: & D & \rightarrow \mathbb{R} \\\ & (x, y) & \mapsto f(x, y) \end{array}
uma função de classe C^{1}.
a) (2.0) Se S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;(x, y) \in D\right. e \left.z=f(x, y)\right\}, mostre que
A(S)=\iint_{D} \sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}} d \mathbf{A}
onde A(S) denota a área da superfície S.
b) (2.0) Use o item a para calcular a área da parte do plano 2 x+5 y+z=10 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados:
    • D\subset\mathbb{R}^{2} é um domínio no plano.
    • f: D \to \mathbb{R} é de classe C^{1}.
    • A superfície S é o gráfico de f, ou seja
    S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} \;|\; (x,y)\in D,\; z=f(x,y)\}.
  • Perguntas:
    • (a) Mostrar a fórmula da área da superfície S:
    A(S)=\iint_{D} \sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\, d\mathbf{A}.
    • (b) Usar o item (a) para calcular a área da parte do plano 2x+5y+z=10 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=9.

Passo 2

Idéia geral (intuição didática): associar cada ponto (x,y)\in D ao ponto (x,y,f(x,y))\in S por uma parametrização. Um pequeno retângulo na região D de lados dx e dy é levado pela parametrização a um paralelogramo sobre a superfície. A área desse paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial das derivadas parciais da parametrização vezes dx\,dy. Integrando sobre D obtemos a área total. Agora vamos executar isso passo a passo e explicar cada conceito.

Passo 3

Definir a parametrização da superfície S por meio da função
\mathbf{r}: D \to \mathbb{R}^{3},\qquad \mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\;y,\;f(x,y)\bigr).
Aqui \mathbf{r} associa a cada par (x,y) um vetor posição no espaço. As derivadas parciais de \mathbf{r} com respeito a x e y são vetores tangentes à superfície:
\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial x}=\mathbf{r}_x=(1,\;0,\;f_x(x,y)), \qquad \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial y}=\mathbf{r}_y=(0,\;1,\;f_y(x,y)),
onde f_x e f_y denotam respectivamente \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}. Explico: cada componente é a derivada da componente correspondente de \mathbf{r}. Por exemplo, a componente z de \mathbf{r} é f(x,y), então sua derivada em x é f_x.

Passo 4

Fórmula da área de um paralelogramo gerado por dois vetores: se \mathbf{u} e \mathbf{v} são vetores em \mathbb{R}^{3}, a área do paralelogramo formado por \mathbf{u} e \mathbf{v} é \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|, ou seja, o módulo do produto vetorial. Intuição curta: o produto vetorial dá um vetor perpendicular cujo módulo vale base vezes altura do paralelogramo.
No nosso contexto, o pequeno retângulo dx\times dy em D é mapeado em um paralelogramo aproximadamente gerado por \mathbf{r}_x\,dx e \mathbf{r}_y\,dy. Logo a área elemental dS sobre a superfície vale
dS \approx \bigl\|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr\|\,dx\,dy.
Para obter a área total, integra-se esse elemento sobre D:
A(S)=\iint_{D}\bigl\|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr\|\, dA,
onde dA=dx\,dy é o elemento de área no plano xy.

Passo 5

Agora calculamos explicitamente o produto vetorial \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y. Usando a definição via determinante:
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & f_x \\\\ 0 & 1 & f_y \end{vmatrix} = \bigl(-f_x,\; -f_y,\; 1\bigr).
Explicação do cálculo: expandiu-se o determinante pela primeira linha; o componente \mathbf{i} é 0\cdot f_y - f_x\cdot 1 = -f_x, e assim por diante.

Passo 6

O módulo do vetor acima é
\bigl\|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr\| = \sqrt{(-f_x)^{2}+(-f_y)^{2}+1^{2}} = \sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}.
Portanto o elemento de área é dS=\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}\,dA. Integrando sobre D obtemos a fórmula pedida:
A(S)=\iint_{D}\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\, d\mathbf{A}.
Isto conclui a demonstração do item (a). Um pequeno exemplo de verificação: se f\equiv 0 (superfície plana z=0), então f_x=f_y=0 e a fórmula dá A(S)=\iint_D 1\,dA=\text{área}(D)á, como esperado.

Passo 7

Agora o item (b). A superfície pedida é a parte do plano
2x+5y+z=10
dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=9. Resolver para z para colocá-la na forma z=f(x,y):
z=f(x,y)=10-2x-5y.
Como f é linear, suas derivadas parciais são constantes:
f_x=-2,\qquad f_y=-5.

Passo 8

Aplicar a fórmula do item (a). O integrando é
\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}=\sqrt{1+(-2)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30},
que é constante. A região D em que integramos é o disco de raio 3 (pois x^{2}+y^{2}\le 9), cuja área é \pi\cdot 3^{2}=9\pi. Assim
A(S)=\iint_{D}\sqrt{30}\, dA=\sqrt{30}\cdot \text{area}(D)=\sqrt{30}\cdot 9\pi=9\pi\sqrt{30}.
Interpretação: um plano inclinado transforma cada unidade de área do disco em \sqrt{30} unidades de área sobre o plano; por isso multiplicamos pela área do disco.

Resposta

(a) A(S)=\iint_{D}\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\, d\mathbf{A}
(b) 9\pi\sqrt{30}

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