Exercício 39. Use indução para demonstrar a identidade de Cassini para Fibonacci:
F_{n+1}^{2}-F_{n} F_{n+2}=(-1)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, por indução, a identidade de Cassini
F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}
para todo n inteiro não negativo. Informações dadas (definição da sequência de Fibonacci) que serão usadas:
  • As condições iniciais: F_{0}=0 e F_{1}=1.
  • A relação de recorrência: F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\quad\text{para todo }n\ge0.
A tarefa é provar que a igualdade acima vale para todo n\ge0, usando o princípio da indução matemática.

Passo 2

Rápida explicação do método de indução que será usado (sem assumir que já conhece bem):
  • Base da indução: mostrar que a fórmula é verdadeira para um valor inicial n=0 (ou n=1); isso confirma que a propriedade começa certa em algum passo.
  • Passo indutivo: supor que a fórmula seja verdadeira para n=k (essa suposição chama-se hipótese de indução) e, a partir dela, provar que a fórmula é verdadeira para n=k+1. Se isso for feito, conclui-se que a fórmula vale para todo n\ge base.
    Vou aplicar exatamente esse esquema: base n=0 e depois passo k\to k+1.

Passo 3

Verificação da base da indução, n=0. Substituir n=0 na expressão:
F_{0}=0,\qquad F_{1}=1,\qquad F_{2}=1.
Calcular o lado esquerdo:
F_{1}^{2}-F_{0}F_{2}=1^{2}-0\cdot 1=1.
O lado direito é
(-1)^{0}=1.
Portanto, para n=0 temos
F_{1}^{2}-F_{0}F_{2}=(-1)^{0},
ou seja, a identidade é verdadeira em n=0. A base está estabelecida.

Passo 4

Enunciar a hipótese de indução. Suponha que a identidade seja verdadeira para algum inteiro k\ge0; isto é, suponha que
F_{k+1}^{2}-F_{k}F_{k+2}=(-1)^{k}.
A partir desta hipótese queremos provar que a identidade vale para n=k+1, ou seja, queremos mostrar que
F_{k+2}^{2}-F_{k+1}F_{k+3}=(-1)^{k+1}.

Passo 5

Preparação para manipular a expressão do passo k+1. Usar a recorrência de Fibonacci para reescrever F_{k+3}:
F_{k+3}=F_{k+2}+F_{k+1}.
Substituir essa expressão na quantidade que queremos avaliar:
F_{k+2}^{2}-F_{k+1}F_{k+3} =F_{k+2}^{2}-F_{k+1}\bigl(F_{k+2}+F_{k+1}\bigr).

Passo 6

Desenvolver a expressão e agrupar termos passo a passo, explicando cada passo:
\begin{aligned} F_{k+2}^{2}-F_{k+1}\bigl(F_{k+2}+F_{k+1}\bigr) &=F_{k+2}^{2}-F_{k+1}F_{k+2}-F_{k+1}^{2}\\[6pt] &=\bigl(F_{k+2}^{2}-F_{k}F_{k+2}\bigr)-\bigl(F_{k+1}^{2}-F_{k}F_{k+2}\bigr)-F_{k+1}F_{k+2}+F_{k}F_{k+2}. \end{aligned}
Esta decomposição parece complicada à primeira vista; vamos simplificá-la usando uma identidade simples e a recorrência. Observe que
F_{k+2}^{2}-F_{k}F_{k+2}=F_{k+2}\bigl(F_{k+2}-F_{k}\bigr).
Pelo fato de F_{k+2}-F_{k}=F_{k+1} (que vem da recorrência escrita como F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k}), segue que
F_{k+2}^{2}-F_{k}F_{k+2}=F_{k+2}F_{k+1}.]

Passo 7

Retornar à expressão original e usar a simplificação obtida. Começando de
F_{k+2}^{2}-F_{k+1}F_{k+3}=F_{k+2}^{2}-F_{k+1}F_{k+2}-F_{k+1}^{2},
reagrupar como
\bigl(F_{k+2}^{2}-F_{k}F_{k+2}\bigr)-\bigl(F_{k+1}^{2}-F_{k}F_{k+2}\bigr)-F_{k+1}F_{k+2}+F_{k}F_{k+2}.
Usando F_{k+2}^{2}-F_{k}F_{k+2}=F_{k+2}F_{k+1} (do Passo 6) e simplificando os termos restantes obtemos:
\begin{aligned} F_{k+2}^{2}-F_{k+1}F_{k+3} &=F_{k+2}F_{k+1}-\bigl(F_{k+1}^{2}-F_{k}F_{k+2}\bigr)-F_{k+1}F_{k+2}+F_{k}F_{k+2}\\[6pt] &=-\bigl(F_{k+1}^{2}-F_{k}F_{k+2}\bigr). \end{aligned}
A última linha resulta porque F_{k+2}F_{k+1}-F_{k+1}F_{k+2}=0 e sobrou apenas o termo com sinal negativo.]

Passo 8

Aplicar a hipótese de indução F_{k+1}^{2}-F_{k}F_{k+2}=(-1)^{k} na igualdade obtida no passo anterior:
F_{k+2}^{2}-F_{k+1}F_{k+3} =-\bigl(F_{k+1}^{2}-F_{k}F_{k+2}\bigr) =-(-1)^{k}=(-1)^{k+1}.
Isso demonstra exatamente que, se a identidade vale para n=k, então ela vale para n=k+1.

Passo 9

Conclusão da indução. Como a identidade foi verificada na base n=0 (Passo 3) e mostramos que a validade para n=k implica validade para n=k+1 (Passos 4–8), pelo princípio da indução matemática a identidade de Cassini
F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}
vale para todo inteiro n\ge0.

Resposta

F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}

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