Sejam T a transformação linear T(u, v, w)=(2 u+v-2 w, u+2 v+2 w, 2 u-v+w)=(x, y, z), R_{u v w} uma região do espaço no sistema u v w, R_{x y z}=T\left(R_{u v w}\right) e f uma função real integrável.
Calcule \iiint_{R_{u v w}} f d u d v d w, sabendo-se que \iiint_{R_{x y z}} f d x d y d z=3.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
T(u,v,w) = (x,y,z) = (2u + v - 2w,\; u + 2v + 2w,\; 2u - v + w)
e define R_{xyz}=T(R_{uvw}). Sabe-se que
\iiint_{R_{xyz}} f\,dx\,dy\,dz = 3.
O objetivo é calcular
\iiint_{R_{uvw}} f\,du\,dv\,dw.
O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais múltiplas para transformações lineares, usando determinante jacobiano.