Sejam T a transformação linear T(u, v, w)=(2 u+v-2 w, u+2 v+2 w, 2 u-v+w)=(x, y, z), R_{u v w} uma região do espaço no sistema u v w, R_{x y z}=T\left(R_{u v w}\right) e f uma função real integrável.
Calcule \iiint_{R_{u v w}} f d u d v d w, sabendo-se que \iiint_{R_{x y z}} f d x d y d z=3.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T(u,v,w) = (x,y,z) = (2u + v - 2w,\; u + 2v + 2w,\; 2u - v + w)
e define R_{xyz}=T(R_{uvw}). Sabe-se que
\iiint_{R_{xyz}} f\,dx\,dy\,dz = 3.
O objetivo é calcular
\iiint_{R_{uvw}} f\,du\,dv\,dw.
O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais múltiplas para transformações lineares, usando determinante jacobiano.

Passo 2

Escrevemos a matriz associada à transformação T:
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2\\\\ 1 & 2 & 2\\\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix},
isto é, (x,y,z)^T = A\,(u,v,w)^T. Para mudança de variáveis, precisamos do determinante de A.

Passo 3

Calculamos
\det A = 2\begin{vmatrix}2 & 2\\\\ -1 & 1\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix}1 & 2\\\\ 2 & 1\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}1 & 2\\\\ 2 & -1\end{vmatrix}.
Agora cada menor:
\begin{vmatrix}2 & 2\\\\ -1 & 1\end{vmatrix} =2\cdot1 - 2\cdot(-1)=4, \quad \begin{vmatrix}1 & 2\\\\ 2 & 1\end{vmatrix} =1\cdot1 -2\cdot2=-3,
\begin{vmatrix}1 & 2\\\\ 2 & -1\end{vmatrix} =1\cdot(-1) -2\cdot2=-5.
Logo
\det A = 2\cdot4 \;-\;1\cdot(-3)\;-\;2\cdot(-5) =8 +3 +10 =21.

Passo 4

Para uma transformação linear temos
dx\,dy\,dz = |\det A|\;du\,dv\,dw = 21\,du\,dv\,dw.
Invertendo,
du\,dv\,dw = \frac{1}{21}\,dx\,dy\,dz.
Assim
\iiint_{R_{uvw}} f\,du\,dv\,dw = \iiint_{R_{xyz}} f\,\bigl(du\,dv\,dw\bigr) = \iiint_{R_{xyz}} f\,\frac{1}{21}\,dx\,dy\,dz =\frac{1}{21}\,\iiint_{R_{xyz}} f\,dx\,dy\,dz.

Passo 5

Como \displaystyle \iiint_{R_{xyz}} f\,dx\,dy\,dz=3, segue
\iiint_{R_{uvw}} f\,du\,dv\,dw =\frac{1}{21}\cdot 3 = \frac{1}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{7}

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