Encontre a massa do sólido limitado pelos cilindros
e
e pelos planos
e
cuja densidade varia com o produto das distâncias aos três planos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a massa de um sólido cuja densidade em cada ponto é o produto das distâncias aos eixos coordenados, ou seja,
e cujos limites são dados pelos cilindros
e
e pelos planos
,
e
. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais triplas para massa, portanto vamos (1) descrever a região em termos de desigualdades, (2) montar a integral de massa e (3) calcular iteradamente.
Passo 2
Precisamos expressar o volume
em coordenadas cartesianas. Como
fica entre o plano
e a superfície
, temos
Como
fica entre o plano
e o cilindro
, temos
E, finalmente,
varia desde a origem (onde a raiz impõe
) até o plano
:
Passo 3
A massa é dada pela integral tripla
Passo 4
Integramos primeiro em
, tratando
e
como constantes:
Passo 5
Agora integramos em
:
Passo 6
Por fim, integramos em
: