Encontre a massa do sólido limitado pelos cilindros z=\sqrt{x} e y=x^{2} e pelos planos x=1, y=0 e z=0 cuja densidade varia com o produto das distâncias aos três planos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa de um sólido cuja densidade em cada ponto é o produto das distâncias aos eixos coordenados, ou seja,
\rho(x,y,z)=x\,y\,z,
e cujos limites são dados pelos cilindros z=\sqrt{x} e y=x^{2} e pelos planos x=1, y=0 e z=0. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais triplas para massa, portanto vamos (1) descrever a região em termos de desigualdades, (2) montar a integral de massa e (3) calcular iteradamente.

Passo 2

Precisamos expressar o volume V em coordenadas cartesianas. Como z fica entre o plano z=0 e a superfície z=\sqrt{x}, temos
0 \le z \le \sqrt{x}.
Como y fica entre o plano y=0 e o cilindro y=x^{2}, temos
0 \le y \le x^{2}.
E, finalmente, x varia desde a origem (onde a raiz impõe x\ge0) até o plano x=1:
0 \le x \le 1.

Passo 3

A massa é dada pela integral tripla
m = \iiint_{V} \rho(x,y,z)\,dV = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x^{2}}\int_{z=0}^{\sqrt{x}} x\,y\,z\;dz\,dy\,dx.

Passo 4

Integramos primeiro em z, tratando x e y como constantes:
\int_{0}^{\sqrt{x}} x\,y\,z\;dz = x\,y\int_{0}^{\sqrt{x}} z\,dz = x\,y\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{\sqrt{x}} = x\,y\cdot\frac{x}{2} = \frac{x^{2}y}{2}.

Passo 5

Agora integramos em y:
\int_{0}^{x^{2}} \frac{x^{2}y}{2}\;dy = \frac{x^{2}}{2}\int_{0}^{x^{2}} y\,dy = \frac{x^{2}}{2}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x^{2}} = \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{x^{4}}{2} = \frac{x^{6}}{4}.

Passo 6

Por fim, integramos em x:
\int_{0}^{1} \frac{x^{6}}{4}\;dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^{7}}{7}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{7} = \frac{1}{28}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{28}

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