Sejam
as componentes de um tensor de terceira ordem. Mostre que a contração
formam as componentes de um vetor.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- As componentes
de um tensor de terceira ordem (todos os índices covariantes). - A métrica inversa
. - A contração definida por
(vou denotar esse objeto por , isto é ).
O que é pedido:
- Mostrar que as componentes
“formam as componentes de um vetor”, isto é, que transforma, sob mudança de coordenadas, segundo a lei de transformação de um vetor covariante:
Passo 2
Lembrete didático (o que significa “transformar como um vetor covariante”):
- Um conjunto de funções
é componente de um vetor covariante se, ao trocar de coordenadas , elas obedecem à lei
- A nossa meta é calcular
em função de e provar que aparece exatamente o fator .
Passo 3
Escrever a lei de transformação do tensor de terceira ordem
.
- Por hipótese
é um tensor do tipo , portanto suas componentes mudam de coordenadas conforme
Explicação rápida: cada índice covariante traz um fator
.
Passo 4
Escrever a lei de transformação da métrica inversa
.
-
é um tensor do tipo , logo suas componentes transformam como
Comentário: isto é consistente com
; mas aqui usamos diretamente que o inverso é um
-tensor.
Passo 5
Escrever
em coordenadas novas e substituir as leis de transformação.
- Por definição na nova base temos
- Substituindo as expressões de
e obtém-se
Passo 6
Reorganizar e simplificar os fatores usando a regra da cadeia (delta de Kronecker).
- Juntando os fatores obtemos
- Usando a identidade (regra da cadeia)
obtemos
Passo 7
Contrair os deltas e reconhecer
.
- Contrair
dá simplesmente . Assim
- Mas
é exatamente na coordenada original. Logo
Passo 8
Conclusão e interpretação didática final (passo a passo que você pode reproduzir na prova).
- A razão chave foi: substituir as leis de transformação do
-tensor e do -tensor , e observar que os fatores jacobianos pareados cancelam pela regra da cadeia, produzindo deltas que reduzem a expressão à transformação covariante de um índice livre. - Portanto a contração
tem exatamente a lei de transformação de um vetor covariante (um 1-forma). Na prática, contração com tensores (aqui com ) reduz a ordem do tensor e produz outro tensor — neste caso de ordem 1 — e este resultado sempre pode ser verificado pelo procedimento acima.
Resposta
ou seja, as componentes
são as componentes de um vetor covariante.