Sejam A_{\text {ikl }} as componentes de um tensor de terceira ordem. Mostre que a contração A_{k}^{k}{ }_{l}= g^{i k} A_{i k l} formam as componentes de um vetor.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • As componentes A_{i k l} de um tensor de terceira ordem (todos os índices covariantes).
  • A métrica inversa g^{i k}.
  • A contração definida por A^{k}{}_{k l}=g^{i k}A_{i k l} (vou denotar esse objeto por V_{l}, isto é V_{l}=g^{i k}A_{i k l}).
O que é pedido:
  • Mostrar que as componentes V_{l}=g^{i k}A_{i k l} “formam as componentes de um vetor”, isto é, que V_{l} transforma, sob mudança de coordenadas, segundo a lei de transformação de um vetor covariante:
V_{l'}=\frac{\partial x^{r}}{\partial x^{l'}}\,V_{r}.

Passo 2

Lembrete didático (o que significa “transformar como um vetor covariante”):
  • Um conjunto de funções V_{l} é componente de um vetor covariante se, ao trocar de coordenadas x^{i}\mapsto x^{i'}, elas obedecem à lei
V_{l'}=\frac{\partial x^{r}}{\partial x^{l'}}\,V_{r}.
  • A nossa meta é calcular V_{l'} em função de V_{r} e provar que aparece exatamente o fator \dfrac{\partial x^{r}}{\partial x^{l'}}.

Passo 3

Escrever a lei de transformação do tensor de terceira ordem A_{i k l}.
  • Por hipótese A_{i k l} é um tensor do tipo (0,3), portanto suas componentes mudam de coordenadas conforme
A_{i'k'l'}=\frac{\partial x^{p}}{\partial x^{i'}}\;\frac{\partial x^{q}}{\partial x^{k'}}\;\frac{\partial x^{r}}{\partial x^{l'}}\;A_{p q r}.
Explicação rápida: cada índice covariante traz um fator \dfrac{\partial x^{\text{antiga}}}{\partial x^{\text{nova}}}.

Passo 4

Escrever a lei de transformação da métrica inversa g^{i k}.
  • g^{i k} é um tensor do tipo (2,0), logo suas componentes transformam como
g^{i'k'}=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^{s}}\;\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{t}}\;g^{s t}.
Comentário: isto é consistente com g_{ab}g^{bc}=\delta_a^c; mas aqui usamos diretamente que o inverso é um (2,0)-tensor.

Passo 5

Escrever V_{l'} em coordenadas novas e substituir as leis de transformação.
  • Por definição na nova base temos
V_{l'}=g^{i'k'}A_{i'k'l'}.
  • Substituindo as expressões de g^{i'k'} e A_{i'k'l'} obtém-se
V_{l'}= \left(\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^{s}}\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{t}}g^{s t}\right) \left(\frac{\partial x^{p}}{\partial x^{i'}}\frac{\partial x^{q}}{\partial x^{k'}}\frac{\partial x^{r}}{\partial x^{l'}}A_{p q r}\right).

Passo 6

Reorganizar e simplificar os fatores usando a regra da cadeia (delta de Kronecker).
  • Juntando os fatores obtemos
V_{l'}= \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^{s}}\frac{\partial x^{p}}{\partial x^{i'}} \;\cdot\; \frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{t}}\frac{\partial x^{q}}{\partial x^{k'}} \;\cdot\; g^{s t}\,\frac{\partial x^{r}}{\partial x^{l'}}\,A_{p q r}.
  • Usando a identidade (regra da cadeia)
\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^{s}}\frac{\partial x^{p}}{\partial x^{i'}}=\delta^{p}_{s}, \qquad \frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{t}}\frac{\partial x^{q}}{\partial x^{k'}}=\delta^{q}_{t},
obtemos
V_{l'}=\delta^{p}_{s}\,\delta^{q}_{t}\; g^{s t}\;\frac{\partial x^{r}}{\partial x^{l'}}\;A_{p q r}.

Passo 7

Contrair os deltas e reconhecer V_{r}.
  • Contrair \delta^{p}_{s}\delta^{q}_{t}g^{s t} dá simplesmente g^{p q}. Assim
V_{l'}=g^{p q}\,\frac{\partial x^{r}}{\partial x^{l'}}\,A_{p q r}.
  • Mas g^{p q}A_{p q r} é exatamente V_{r} na coordenada original. Logo
V_{l'}=\frac{\partial x^{r}}{\partial x^{l'}}\,V_{r}.

Passo 8

Conclusão e interpretação didática final (passo a passo que você pode reproduzir na prova).
  • A razão chave foi: substituir as leis de transformação do (2,0)-tensor g^{i k} e do (0,3)-tensor A_{i k l}, e observar que os fatores jacobianos pareados cancelam pela regra da cadeia, produzindo deltas que reduzem a expressão à transformação covariante de um índice livre.
  • Portanto a contração V_{l}=g^{i k}A_{i k l} tem exatamente a lei de transformação de um vetor covariante (um 1-forma). Na prática, contração com tensores (aqui com g^{ik}) reduz a ordem do tensor e produz outro tensor — neste caso de ordem 1 — e este resultado sempre pode ser verificado pelo procedimento acima.

Resposta

V_{l}=g^{i k}A_{i k l}\quad\text{transforma-se como}\quad V_{l'}=\frac{\partial x^{r}}{\partial x^{l'}}\,V_{r},
ou seja, as componentes g^{i k}A_{i k l} são as componentes de um vetor covariante.

Exercícios relacionados