Sejam u=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) e v=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) vetores em \mathbb{R}^{3}. O produto vetorial de u por v é definido como o vetor
u \times v=\left(x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2}, x_{3} y_{1}-x_{1} y_{3}, x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right) .
Prove que valem as seguintes propriedades:
\mathrm{u} \times(\alpha v)=\alpha(\mathrm{u} \times v)

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^3 o produto vetorial
u \times v = \bigl(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2},\;x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3},\;x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\bigr)
para u=(x_{1},x_{2},x_{3}) e v=(y_{1},y_{2},y_{3}). Queremos mostrar a propriedade de homogeneidade em relação ao segundo fator, ou seja,
u \times (\alpha v) = \alpha\,(u \times v).

Passo 2

Escrevemos primeiro o vetor \alpha v. Multiplicando v pelo escalar \alpha, obtemos
\alpha v = (\alpha y_{1},\,\alpha y_{2},\,\alpha y_{3}).

Passo 3

Aplicamos a definição do produto vetorial a u e a \alpha v:
u \times (\alpha v) = \bigl(x_{2}\cdot(\alpha y_{3}) - x_{3}\cdot(\alpha y_{2}),\; x_{3}\cdot(\alpha y_{1}) - x_{1}\cdot(\alpha y_{3}),\; x_{1}\cdot(\alpha y_{2}) - x_{2}\cdot(\alpha y_{1})\bigr).

Passo 4

Em cada componente podemos fatorar \alpha:
u \times (\alpha v) = \bigl(\alpha\,(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}),\; \alpha\,(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}),\; \alpha\,(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\bigr).

Passo 5

O vetor acima é exatamente \alpha vezes o vetor u\times v. Logo, concluímos que
u \times (\alpha v) = \alpha\,(u \times v).

Resposta

u \times (\alpha v) = \alpha\,(u \times v).

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