Sejam u=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) e v=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) vetores em \mathbb{R}^{3}. O produto vetorial de u por v é definido como o vetor
u \times v=\left(x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2}, x_{3} y_{1}-x_{1} y_{3}, x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right) .
Prove que valem as seguintes propriedades:
\mathrm{u} \times\left(v+v^{\prime}\right)=\mathrm{u} \times v+\mathrm{u} \times v^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto vetorial é distributivo em relação à soma no segundo fator, ou seja,
u\times(v+v') \;=\; u\times v \;+\; u\times v'.
O conteúdo é propriedades do produto vetorial em \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar a definição coordenada do produto vetorial e propriedades algébricas de soma e multiplicação em \mathbb{R}.

Passo 2

Primeiro, calcule v+v'. Se
v=(y_{1},y_{2},y_{3}) \quad\text{e}\quad v'=(y_{1}',y_{2}',y_{3}'),
então
v+v'=(\,y_{1}+y_{1}',\;y_{2}+y_{2}',\;y_{3}+y_{3}'\,).

Passo 3

Agora aplique a definição do produto vetorial a u\times(v+v'). Se
u=(x_{1},x_{2},x_{3}),
então
u\times(v+v') = \bigl(x_{2}(y_{3}+y_{3}')-x_{3}(y_{2}+y_{2}'),\; x_{3}(y_{1}+y_{1}')-x_{1}(y_{3}+y_{3}'),\; x_{1}(y_{2}+y_{2}')-x_{2}(y_{1}+y_{1}')\bigr).

Passo 4

Use a distributividade em cada coordenada:
x_{2}(y_{3}+y_{3}')-x_{3}(y_{2}+y_{2}') =(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})+(x_{2}y_{3}'-x_{3}y_{2}'),
x_{3}(y_{1}+y_{1}')-x_{1}(y_{3}+y_{3}') =(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})+(x_{3}y_{1}'-x_{1}y_{3}'),
x_{1}(y_{2}+y_{2}')-x_{2}(y_{1}+y_{1}') =(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})+(x_{1}y_{2}'-x_{2}y_{1}').

Passo 5

Reagrupando as parcelas de cada coordenada, vemos que
u\times(v+v') = \bigl(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2},\;x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3},\;x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\bigr) + \bigl(x_{2}y_{3}'-x_{3}y_{2}',\;x_{3}y_{1}'-x_{1}y_{3}',\;x_{1}y_{2}'-x_{2}y_{1}'\bigr).
Mas o primeiro vetor é u\times v e o segundo é u\times v'. Portanto a distributividade vale.

Resposta

u\times(v+v') = u\times v + u\times v'.

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